Kann mir bitte jemand verständlich und einfach erklären was hiermit gemeint ist?
1 Antwort
Verstehst du die Begriffe "homogenes" und "inhomogenes" Gleichungssystem? Hier geht es um den Zusammenhang der Lösungen von beiden. Wenn man sowas nicht versteht, ist es am besten, sich ein Beispiel auszudenken. Und das daran zu verdeutlichen.
Mathematik ist eine sehr exakte Wissenschaft und auch das Fragenstellen kann dich weiterbringen, indem du übst, sie möglichst exakt zu stellen. Also versuche so konkret wie möglich zu formulieren, was du nicht verstehst. Dann bekommst du (hier) auch bestimmt eine konkrete Antwort ;)
A ist eine Matrix und x1 ist ein (Lösungsvektor) des LGS. Dass A*x1= b ist, ist quasi die Definition einer Lösung. Vorsicht vor Mehrfachnutzung von Variablen: x1, x2, x3 sind keine(!) Koeffizienten sondern Vektoren. Deine Koeffizienten des LGS sind die Einträge in der Matrix.
Könntest du mir versuchen zu erklären, was mit dem ersten Beispiel gemeint ist. Habe ich es richtig verstanden? Wenn ich die Lösung x1 mit der Matrix A multipliziere und die von der Lösung x2, welche ebenfalls mit A multipliziert ist abziehe, erhalte ich eine Lösung für das zugehörige homogene System
Gibt es evt ein Beispiel mit dem du mit der oberen Zusammenhang erklären könntest
Nope. Aber ich kann "Hilfe zur Selbsthilfe" leisten. Überlege die mal ein LGS, das mehr als eine Lösung (also unendlich viele hat) und schreibe es in Matrixform auf. Zum Beispiel ein (inhomogenes) System mit zwei Gleichungen/Unbekannten in, wobei die eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist. . Dann nimmst du dir zwei Lösungen des Systems und subtrahierst sie voneinander. Das Ergebnis multiplizierst du dann mit deiner Matrix und schaust, was rauskommt.
Kannst du erklären wieso ausgerechnet eine Matrix mit unendlich Lösungen und wieso muss die einen Gleichung das Vielfache sein
Weil ein lineares Gleichungssystem entweder null, eine oder unendlich viele Lösungen hat und wir eines suchen, für das wir 2 verschiedene Lösungen x1 und x2 haben. Daher müssen wir "notgedrungen" eines mit unendlich vielen Lösungen heranziehen. Der einfachste Fall, das zu bekommen ist, wenn du zwei Gleichungen hast, die quasi das gleiche sagen. Nimm dazu sowas wie x + y = 1 und 2x + 2y = 2. Das in Matrixschreibweise umwandeln, und den Lösungsraum ermitteln (entweder mit Gauß oder deinem Lieblingsverfahren zum Lösen von solchen LGS). Daraus suchst du dir dann zwei Lösungen aus. Und überprüfst mal die Aussagen aus deinem Skript.
Und die Lösung x1 multipliziere ich mit der Matrix A und subtrahiere dies dann mit dem Produkt x1 und A
Ich habe es eben getestet und es kommt immer 0 raus. Bedeutet das, dass homogene Systeme immer eine Lösung 0 haben? Sie können ja entweder unendlich viele Lösungen haben oder nur die Lösung 0. aber die triviale Lösung ist ja immer 0 richtig ?
Ja genau. Der Nullvektor ist immer eine Lösung. Und wenn es eine eindeutige Lösung gibt, dann ist es in dem Fall die triviale Lösung
Hier versuche ich nochmal zu erklären was ich nicht verstehe:
ich weiß bereits was homogene und inhomogene Gleichungssysteme sind. Ich frage mich nur, was A*x1 ist. Wie ist es wenn ein gleichungssystem mehrere variablen x1 x2 x3 hat und diese mit dem jeweiligen Koeffizient multipliziert werden? Wieso ergeben beide Gleichungen =b und wieso kommt dann 0 raus ?
was muss ich also voneinander abziehen um auf eine Lösung aus der homogenen Matrix zu kommen ?