Kann man auf dem WLAN Router den Browserverlauf sehen?

Ein Router kann theoretisch alle Datenpakete einsehen die über diesen gehen. Somit wäre es auch möglich die Seiten zu sehen die jemand innerhalb des Router-Netzwerks aufgerufen hat. Ob der Router das macht hängt vom Modell des Routers und dessen Konfiguration ab. Derjenige der den Router betreut ist hierfür verantwortlich.

Verhindern kann man das indem man z.B. VPN verwendet. Dadurch werden die Datenpakete zwar weiter über den Router geleitet, sind aber so "verschlüsselt", dass er sie nicht einsehen und analysieren kann.

Kommt drauf an, wenn man sich mit Technik auskennt und in den Router eine lizens installiert welche Aktionen aufnimmt und speichert, kann man sehen welche Seiten etc besucht wurden. Der WLAN Anbieter und Vodafone kann das auch nachvollziehen und bei illegalen Aktivitäten die Polizei informieren.

Über den DNS Server kann man herausfinden welche Domains aufgerufen werden, eine Fritzbox hat auch ein DNS Server. Aber man kann lange noch nicht einsehen was aufgerufen wird, z.B mit pi.hole wäre es aber durchaus möglich zu erfahren was welcher Client aufruft und wenn da dann etwas mit Hamster steht.. tja

Wenn Du fragst, ob es generell die technische Möglichkeit gibt, so lautet die Antwort: Ja.

Wenn Du fragst, ob da Dein Router kann: Keine Ahnung.

Natürlich erfährt jeder Router, welche Adressen angesteuert werden, denn sonst könnte er seine Aufgabe nicht erfüllen. Daraus ergibt sich, dass der Router auch einen Verlauf sehen kann.