Ist wenn man Kugeln zurücklegt ein La Place Experiment?
hey,
also wie man ja weiß ist ein La place Experiment ein Zufallsexperiment , bei dem alle Wahrscheinlichkeiten für ein bestimmtes Ereignis gleich groß sind. Also wie z.b bei einem Würfel (für jede Zahl 1/6 sofern nicht gezinkt) oder beim Münzwurf jeweils 1/2 für Kopf oder Zahl.
Jetzt: Wenn man eine Urne hat, mit z.B 4 roten und 4 blauen Kugeln und diese immer zurücklegt, wäre dies ja ein La Place Experiment. Doch wenn man jetzt die Kugeln nicht zurücklegt, ist die Wahrscheinlichkeit ja nicht mehr von jedem Ereignis gleich groß oder? Da dann zum Beispiel nur noch 3 rote und 4 blaue Kugeln drin sind und somit die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel im zweiten Zug größer ist.
Also meine Frage: Ist ein Urnenmodell bei dem Gleich viele blaue so wie rote Kugeln liegen und nach dem Ziehen die kugeln NICHT zurückgelegt werden noch ein Laplace Experiment nach dem zweiten Zug?
Danke für jede antwort
3 Antworten
Ist evtl. die Definition des Laplace-Experimentes nicht ganz klar?
Du führst ein Zufallsexperiment durch. Die unterschiedlichen Ausgänge des Experimentes heißen Ergebnisse.
Bei Deinem Experiment klingt es so, als ob Du bei dem Experiment die Frabe der gezogenen Kugel betrachtest (sie könnten ja zusätzlich durch eine Nummer, durch die Größe, Gewicht... unterscheidbar sein). Demnach hat Dein Experiment die beiden Ergebnisse "rot" und "blau".
Um ein L-Experiment handelt es sich dann, wenn die alle Ergebnisse des Experimentes dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.
Damit dürft klar sein, dass es sich nur dann um ein L-Experiment handelt, wenn die Anzahl der roten und blauen Kugeln im Moment vor dem Ziehen gleich ist.
Führst Du das Ziehen mehrfach durch und legst die gezogene Kugel NICHT zurück, kann es sich beim nächsten Zug mal um ein L-Experiment handeln, mal nicht.
Ich habe den Verdacht, dass in Deinem Kopf evtl. auch der Begriff Bernoulli-Experiment geistert; kann das sein? Falls ja, ergänze ich gerne.
Hmm dass heißt ja, dass ein Urnenversuch, bei dem 3 rote und 4 blaue vorhanden sind kein La Place Experiment sind, solange man auf die Wahrscheinlichkeit schaut, wie wahrscheinlich es ist eine rote oder blaue Kugel zu ziehen oder?
Aber würde das dann nicht dem widersprechen, was man hier https://matheguru.com/stochastik/laplace-experiment.html
als letztes Beispiel für La PLace Experimente findet? Oder ist das was anderes? Kannst du mir erklären was da der unterschied ist?
Und ja, mir schwirrt allerdings der Begriff Bernoulli Experiment im Kopf rum du bin mir nicht sicher wie das nun mit La PLace zusammen hängt.
Allerdings kommt es mir so vor, als ob es durchaus auch möglich ist, bei einem La Place Experiment nicht nur eine gleiche Anzahl von Ereignissen zu haben. Denn in meinem Mathebuch ist eine Aufgabe, wo von 8 leeren und 12 vollen Batterien die rede ist
Oh oh, habe ich da Verwirrung geschaffen? Wahrscheinlich :-) ist es eine Frage der Betrachtungsweise.
Ich gehe mal von einer Urne mit 3 roten und 5 blauen Kugeln aus.
a) Du ziehst ein Mal. Wie groß ist die Wkeit, eine rote Kugel zu ziehen?
Hier greift Laplace: Für jede Kugel besteht die gleiche Wkeit, gezogen zu werden (habe ich mal vorausgesetzt). Dann kannst Du die gesuchte Wkeit nach der Formel P = "Anzahl der günstigen Ergebnisse : Anzahl der möglichen Ergebnisse" berechnen.
Als Ergebnisse werde ALLE 8 Kugeln betrachtet (nicht nur die beiden Farben!). In diesem Fall sind möglich: 8 Kugeln; günstig: 3 Kugeln. Also: P = 3/8
b) Du ziehst 4 mal hintereinander mit Zurücklegen der gezogenen Kugel. Dann ist jeder einzelne Zug ein Versuch gemäß a) , kann also als Laplace-Experiment aufgefasst werden. Jetzt kommt aber die entscheidende Frage: Worauf achtest Du bei Deinen 4stufigen Versuch? Standard wäre die Zufallsgröße X: "Anzahl der roten Kugeln". Nun greift das Modell des Bernoulli-Versuches: in jedem einzelnen Experiment werden nur noch die beiden Farben unterschieden. Definiert man "Treffer" mit "rote Kugel gezogen", haben wir eine Trefferwkeit von 3/8 (gemäß a)). p ändert sich von Versuch zu Versuch nicht. Und: es gibt nur zwei Ergebnisse (rot oder blau). Die Zufallsgröße X ist damit binomialverteilt.
c) Du ziehst 4 mal hintereinander OHNE Zurücklegen der gezogenen Kugel.
Sei wieder X: "Anzahl der gezogenen roten Kugeln". Jetzt kann X nur noch die Werte 0, 1, 2 oder 3 annehmen.
Auch hier ist jede einzelne Stufe des Experimentes ein L-Versuch. Aufgrund der Änderung der Trefferwkeit (in jedem Versuch hängt die Trefferwkeit von den vorher gezogenen Kugeln ab) ist das Gesamtexperiment aber kein Bernoulliversuch mehr.
Ist es nun klar geworden?
Übrigens: Du hast so lange warten müssen, weil ich derzeit in Urlaub bin. Da spielt Mathe für mich nicht SO die Rolle wie sonst ;-)
Bitte beantworten deine Frage doch selbst:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Ereignisses "Rot" beim zweiten Zug? Wie hoch die Wahrscheinlichkeit für "Blau"? (Natürlich in Abhängigkeit vom Ergebnis des ersten Zuges!) Ist das gleich hoch?
Aber, sehe gerade, du hattest ja danach gefragt, wie es nach dem zweiten Zug aussieht. Male dir ein Baumdiagramm für alle Möglichkeiten, und schaue dann wie die Wahrscheinlichkeiten sind!
Naja wenn nun eine blaue Kugel gezogen wird, ist die Wahrscheinlichkeit für eine zweite blaue Kugel 3/7 und für eine rote Kugel 4/7. Aber ist das ist ja nicht die gleiche Wahrscheinlichekit. oder habe ich da was falsch verstanden? bezieht sich das mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf die jeweiligen Kugeln? also dass für jede blaue Kugel im nächsten Zug die gleiche Wahrscheinlichkeit von 3/7 ist?
Weil ich bin mir nicht sicher ob sich die Laplace Wahrscheinlichkeit auf das ganze bezieht, also darauf ob die Wahrscheinlichkeit eine rote oder eine blaue Kugel zu ziehen gleich groß ist, oder darauf, ob die Wahrscheinlichkeit einer blauen Kugel gleich groß ist? Oder kommt das auf die Aufgabenstellung an?
Natürlich ist es eine Frage der Aufgabenstellung!! Was ist gefragt, bzw, was willst du wissen:
1.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganz bestimmte Kugel, egal ob rot oder blau, gezogen wird, oder:
2.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine rote oder irgendeine blaue Kugel gezogen wird?
Schau die Ergebnisse für beide Fälle an, können durchaus verschieden sein, auch in Bezug auf Laplace.
Naja wenn man bei 1) zieht ohne zurückzulegen dann wäre die Wh für jede Kugel gleich groß und somit ein Laplace da es ja egal ist ob rot oder lau und somit jede Kugel eine Wh von 1/7 hat
Bei 2) wäre ja auch ein La PLace Experiment vorhanden, da die Wh für irgendeine blaue Kugel mit 3/7 gleich wäre (sofern am Anfang eine blaue Kugel gezogen wurde) und da für irgendeine rote Kugel ja auch die Wahrscheinlichkeit von 4/7 gleich wäre.
Aber wenn ich es richitg verstanden haben wäre es, wenn man 3 blaue und 4 rote hätte und die Aufgabenstellung wäre: Wie wahrscheinlich ist es, dass entweder eine rote oder eine Blaue gezogen wird? kein La PLce Experiment, da die Wh für blau ja kleiner ist als rot. Richtig?
Ja, ich habe mich, sehr unmathematisch, unpräzise ausgedrückt!!
2.) hätte z.B. lauten müssen: Ist es gleich wahrscheinlich, dass die gezogene Kugel irgendeine der roten wie irgendeine der blauen ist? (oder so wie von dir vorgeschlagen, ich wollte nur betonen, dass es im Gegensatz zu 1.) egal ist, welche rote/blaue Kugel!)
Also, ja, die Aufgabenstellung genau anschauen, sie ist hoffentlich besser formuliert als meine, und ja, deine Schlussfolgerungen sind alle richtig!
Wenn die gleiche Kugelanzahl eine Bedingung für das La Place Experiment ist, dann wäre es kein La Place Experiment mehr. Allerdings könnte es dann als modifiziertes La Place'sches Experiment durchgehen. Immerhin ist von der Sache her ein solches Experiment genauso interessant. Bei der Ziehung der Lottozahlen hat man auch so eine Modifikation.
Somit muss die Anzahl der kugeln nicht gleich sein? Also könnte man auch 4 blaue und 6 rote haben und es wäre noch immer ein La Place Experiment, da für jede rote Kugel eine Wahrscheinlichkeit von 6/10 herrschen würde und für jede blaue eine Wahrscheinlichkeit von 4/10?
Ja, genauso sehe ich das. Der Name scheint ja nach einem Experiment von La Place stammen, den er sicher irgendwo beschrieben hat. Im Kern des Experimentes kommt es nicht auf eine bestimmte Variante an, sondern auf die voraussehbaren Wahrscheinlichkeiten. Dabei ist es egal, ob es 1:1 oder 1:1,25 ist. Für das allgemeine Verständnis ist 1:1 etwas einfacher.
Oder meintest du mit dass es im allgemeinen kein La Place Experiment mit zurücklegen gibt, und dieses Urnenmodell ein Extra Thema ist?