Ist diese Relation Reflexiv, Symmetrisch, Identitiv und/oder Transitiv?
Gegeben ist die Relation (∼) auf einer Menge M
M := |N² und (x1, x2) ∼ (y1, y2) :⇔ (x1 < y1) ∨ (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2) für x1, x2, y1, y2 ∈ N.
Wie findet man hier raus ob die Relation Reflexiv, Symmetrisch, Identitiv und/oder Transitiv ist? Ich hab Relationen null verstanden und habe keine Ahnung wie ich hier vorgehen müsste um es zu lösen. Wir haben weder jemals Übungen dazu gemacht mit einer Lösung oder ein Beispiel bekommen woran wir das hätten lernen können. Nur Theoretische Beispiele die absolut nix mit dem Teil zu tun haben.
Für uns gilt:
Es heißt R reflexiv, falls m R m für m ∈ M.
Es heißt R symmetrisch, falls (m R m'⇔ m'R m) für m, m' ∈ M
Es heißt R identitiv, falls ((m R m'∧ m' R m) ⇒ m = m' ) für m, m' ∈ M
Es heißt R transitiv, falls ((m R m' ∧ m' R m'') ⇒ m R m'') für m, m' , m'' ∈ M
Ich hab keine Ahnung was ich mit dieser Erklärung für die jeweiligen Arten von Relationen mit dieser Aufgabe anfangen soll. Würde mich sehr darüber freuen wenn es mir wer erklären könnte oder vllt vorrechnet mit Lösungsweg. Ich verstehe es vllt wenn ich den Lösungsweg mal gesehen hab.
Meine Lösungen bisher:
Bei reflexiv hab ich keine Ahnung weil ich nicht weiß was mRm bedeuten soll. 1=1? Ich meine das stimmt ja immer aber macht halt bei der Aufgabe keinen sinn...? Soll das hier irgendwie (x1,x2)=(y1,y2) bedeuten? Weil das würde ja nicht stimmen oder?!??
Bei Symmetrie hab ich dass es falsch ist, da y>=x nicht dasselbe ist wie x >= y aber hab auch keine Ahnung ob das so sinn macht wie ich das hab
Bei Identitiv hab ich wieder nicht geblickt was man von mir will. Ließt man es so:" Falls m in Relation zu m' steht UND m' in Relation zu m, dann ist m=m' " ???? Keine Ahnung was ich darunter verstehen soll.
Bei Transitiv hab ich genauso wenig verstanden, wie man es umsetzen soll bei der Aufgabe. Es macht für mich einfach keinen Sinn. Was da steht ist wie Chinesisch für mich. Und mein netter Dozent hat leider auch keine Zeit gehabt mir das zu erklären. Das Skript dazu hilft mir nicht (die Definition da oben ist vom Skript).
Ich hab auch schon im Internet danach gesucht. Wikipedia macht es noch schlimmer. Kein Video erklärt es mir so, dass ich es auf die Aufgabe anwenden könnte. Ich sitz seit 8 Stunden an dem Dreck und geb jetzt auf.
Wäre nett wenn mir wer helfen könnte.
1 Antwort
Formal zeigt man das so hier:
Reflexiv ist recht einfach:
(x1, x2) ∼ (x1, x2) :⇔ (x1 < x1) ∨ (x1 = x1 ∧ x2 ≤ x2)
Die erste Klammer der oder-Bedingung ist nicht erfüllbar, aber die zweite, da dort beide Klauseln der und-Bedingung wahr sind.
Symmetrisch:
Wenn (x1, x2) ∼ (y1, y2) :⇔ (x1 < y1) ∨ (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2),
dann muss mindestens eine der beiden oder-Bedingungen zutreffen.
Soll die Relation symmetrisch sein, müsste umgekehrt gelten (also im Prinzip überall x durch y ersetzen und umgekehrt):
(y1, y2) ∼ (x1, x2) :⇔ (y1 < x1) ∨ (y1 = x1 ∧ y2 ≤ x2)
Wenn jetzt (x1 < y1) in der ersten Zeile gilt, kann (y1 < x1) nicht auch in der zweiten gelten. Diese Bedingung kann die Relation also nicht symmetrisch machen, da sie nicht in beiden Zeilen zutreffen kann. Also müsste dafür wieder die zweite Klammer erfüllt werden. Wenn (x1 = y1) in der ersten Zeile gilt , dann auch (y1 = x1) in der zweiten. Außerdem muss (x2 ≤ y2) gelten, um die erste Zeile zu erfüllen. (y2 ≤ x2) in der zweiten Zeile würde aber nur gelten, wenn y2 = x2 ist. Also ist die Relation hier nicht per se symmetrisch, da nicht für alle xRy automatisch auch yRx gilt.
Transitiv:
Es gelten als Voraussetzung
(x1, x2) ∼ (y1, y2) :⇔ (x1 < y1) ∨ (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2)
(y1, y2) ∼ (z1, z2) :⇔ (y1 < z1) ∨ (y1 = z1 ∧ y2 ≤ z2)
Jetzt müsste für Transitivität daraus folgen, dass
(x1, x2) ∼ (z1, z2) :⇔ (x1 < z1) ∨ (x1 = z1 ∧ x2 ≤ z2)
Das ist über die erste Klammer erfüllbar, da gilt
x1 < y1 < z1 -----> x1 < z1
Außerdem gilt
(x1 = y1) und (y1 = z1) --> x1=y1=z1 ---> x1=z1
sowie
(x2 ≤ y2) und (y2 ≤ z2) --> x2 ≤ y2 ≤ z2 ---> x2 ≤ z2
Somit sind alle Klammern der zu zeigenden Formel bei xRz erfüllbar, wenn xRy und yRz gilt. Also liegt Transitivität vor.
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Hoffe mal es hilft dir weiter.
Genau, das was Reflexivität angeht stimmt.
x1<y1<z1 <=> x1 = z1 wäre ja sowieso nicht erfüllbar.
Meiner Ansicht nach weißt du halt nicht, WELCHE der beiden oder-Bedingungen zutrifft, deshalb muss im Zweifelsfall das eben bei allen passen, damit es transitiv sein kann.
Wobei ich mir grade nicht sicher bin, ob man nicht prinzipiell zum Nachweis der Transitivität sämtliche Kombinationen bedenken muss.
Also 1. Klausel der 1. Zeile und 1. Klausel der 2. Zeile bis zu 2. Klausel der 1. und 2. Klausel der zweiten Zeile. Also alle vier Kombinationen durchdenken.
D.h.
1) (x1 < y1) und (y1 < z1) ---> x1 < y1 < z1 ---> x1 < z1 (1. Klausel erfüllt)
2) (x1 < y1) und (y1 = z1 ∧ y2 ≤ z2) ---> x1 < y1=z1 --> x1<z1 (1. Klausel erfüllt).
3) (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2) und (y1 < z1) ---> x1 =y1 < z1 --> x1<z1 (1. Klausel erfüllt)
4) (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2) und (y1 = z1 ∧ y2 ≤ z2) ---> (x1=y1=z1) und (x2 ≤ y2 ≤ z2) ---> (x1=z1) und (x2 ≤ z2) (2. Klausel erfüllt)
Das heißt nur wenn bei beiden Zeilen die Relation über die zweite Klausel erfolgt, geht auch die Transitivität über diese. Ansonsten über die erste Klausel.
Denke mal so sollte es formal korrekt sein.
Wow danke das hilft immens!!! Ich hab jetzt nur was bei Transitivität und reflexivität nicht ganz verstanden bzw ich glaub ich blicks jetzt aber ich will auf nummer sicher gehen.
Bei Reflexivität hast du ja jetzt aus jedem y1 ein x1 und y2 ein x2 gemacht. Dann muss man sich einfach nur noch anschauen ob die Bedingung dann stimmt und dann ist es reflexiv oder? Also theoretisch hätte man jetzt auch x1 zu y1 machen können usw und dann halt dasselbe kontrollieren können oder?
Bei Transitivität hast du ja noch beide Seiten der „oder“-Bedingung angeguckt aber theoretisch hätte es dort ja gereicht, wenn man einfach gezeigt hätte, dass x1<y1<z1 <=> x1 = z1 ist oder?
Nochmal vielen Dank für die Antwort. Dadurch hab ich jetzt das ganze Zeugs zumindest mal grob verstanden!