Ist diese Funktion bei x=1 definiert oder nicht?
Hey, hab gerade eine Kurvendiskussion gemacht zur Funktion f(x)= (2x^2-2)ln((x-1)^2) und da der ln beim X-Wert x=0 nicht definiert ist habe ich angenommen, dass f(x) dementsprechend nicht bei dem x-Wert x=1 (da (1-1)^2=0) nicht definiert ist. Später ließ ich den Graphen von einem Programm zeichnen:
Wieso ist denn der Graph von der Zeichnung her beim X-Wert x= 1 doch definiert??
5 Antworten
Hi,
genau, also der Term mit dem ln hat bei x=1 eine Definitionslücke
Wenn du aber in den vorderen Term für x 1 einsetzst, kommt 0 raus.
Und dadurch ist der Gesamtterm definiert, weil die 0 sozusagen gegen undefiniert gewinnt. Wenn du ein Produkt hast, bei dem einer der Faktoren 0 ist, ist sowieso egal, ob der andere Faktor jetzt 2 oder 838 oder minus unendlich ist, da das Ergebnis ja immer 0 ist.
ln(0) ist nicht undefiniert, es ist -inf. Undefiniert wäre z.B. lim x->0 (1/x)
Ja, Ahzmandius hat recht. Wenn du dir den Graphen von lnx ansiehst, geht der bei x=0 ins Minus unendliche. Und 0 mal -inf ist 0
Drück F12 und klick dann auf "Konsole".
Dann kopiere den Code hier da rein.
f = x => (2*x*x-2) * Math.log((x-1) * (x-1))
for(i = -2; i < 2; i += 0.1) console.log(`f(${i}) = ${f(i)}`)
Auf Grund von Rundungsfehlern und der Tatsache, dass intern binäre Zahlen verwendet werden, wird der Wert 1 niemals erreicht. Ausserdem kann es auch sein, dass das Programm, das du da verwendest, undefinierte Stellen einfach ignoriert.
1)lim x->0 (ln(x)) ist nicht undefiniert, es ist -inf. Das ist aber keine Zahl, deswegen nennt man das eine Definitionslücke. Undefiniert ist z.B. lim x-> 0 (1/x).
1/x ist deswegen undefiniert, weil je nach dem ob man den Limes von links oder rechts an die Null heranführt bekommt man wahlweise + oder - inf raus.
2)Bei Termen, die mit mal gebunden sind, reicht es nicht einfach die Einzelterme anzuschauen.
Hier geht der eine Term gegen 0 und der andre gegen -inf.
Allerdings wächst der quadratische Term schneller als der logarithmische, deswegen geht der ganze Term gegen 0.
Die Funktion ist bei x=1 nicht definiert (wenn Du einsetzt, dann kommt Käse raus), aber Du kannst sie analytisch fortsetzen. Das bedeutet daß Du eine neue Funktion g(x) definierst, die bei x=0 das Resultat 1 hat und bei allen anderen x-Werten f(x) liefert. Dieses g(x) hat dann völlig normales Verhalten um x=1, aber es ist nicht die Funktion, die Du diskutieren sollst (außer, es stünde in der Angabe, daß eine Fortsetzung verlangt ist)
Ganz eindeutig (wie von Dir bemerkt): Die Funktion hat bei x = 1 eine Definitionslücke.
Kannst Du mit dem von Dir benutzten Programm einzelne Funktionswerte berechnen lassen? Dann versuche es doch mal mit f(1).
Das Problem, auf das Du gestoßen bist, kenne ich von vielen Zeichen-/Matheprogrammen.
Ich erkläre mir das folgendermaßen:
Für die Zeichnung ist ein bestimmtes Intervall definiert. Auf diesem Intervall werden natürlich nicht alle (unendlich vielen) Funktionswerte berechnet, sondern (ich denke mir jetzt mal eine Zahl aus) nur 583. Vom linkesten x-Wert aus werden die x-Werte also immer um 1/582 der gesamten Intervallbreite vergrößert. Insoern ist es großer Zufall, wenn x=1 auch mit in die Berechnung einbezogen wird. Manche Programme kennzeichnen die Stelle im Graphen dann mit einem kleinen Kreis oder einer Lücke(von einem Pixel).
Benachbarte Punkte des Graphen werden dann durch eine kleine Strecke miteinander verbunden, so dass das Ganze optisch wie eine schöne, glatte Kurve aussieht (in Wahrheit aber ein Streckenzug ist).
Evtl. "merkt" das Programm ja auch, dass da nur ein einzelner Punkt fehlt und verbindet dann die beiden Punkt links und rechts der Lücke; auch hier wirkt der Graph dann durchgezeichnet.
(Ein ähnliches Problem taucht für das Programm ja auch auf, wenn Punkte des Graphen unter oder oberhalb des dargestellten Intervalls der y-Werte liegen. Auch diese werden ignoriert.)
Wie gesagt: Das sind meine Vermutungen - die für mich aber plausibel klingen :-)
Da hast du wohl Recht, ich hatte das Problem auch bei einer anderen Funktion, siehe https://www.gutefrage.net/frage/wieso-sieht-der-graph-so-aus :D x^x ist z.B. für x=-0,5 bzw. generell für "nicht-ganze-Zahlen" im negativen Bereich nicht definiert, da man dann 1/sqrt(x) hat und unter der Wurzel etwas negatives steht. Für ganze Zahlen im negativen Bereich ist die Funktion definiert, z.B. gilt f(-2)= 1/(-2)^2 = 1/4
Das Problem, auf das Du gestoßen bist, kenne ich von vielen Zeichen-/Matheprogrammen.
Hier liegt kein Problem mit dem Programm vor. Bei der x = 1 handelt sich um eine hebrare Definitionslücke. Für x -> 1 kommt tatsächlich 0 raus.
x = 1 ist aber nach wie vor eine Lücke: f ist hier nicht definiert, also existiert f(1) nicht, also sollte ein Loch im Graphen sein...
F(1) ist 0 das lässt sich jedoch nur durch eine Grenzwertbetrachtung feststellen.
Ob der andere Faktor 2 oder 838 ist ist egal, klar. Aber wenn der andere Faktor undefiniert ist verstehe ich nicht, warum die 0 hier "gewinnt"... Das ist für mich irgendwie unlogisch :D