Ist die erste Ableitung einer Normalparabel eine Gerade?
Oder hat sie um die Nullstelle herum eine leichte Krümmung, sodass die Nullstelle gleichzeitig ein Wendepunkt ist?
5 Antworten
Ist die erste Ableitung einer Normalparabel eine Gerade?
Ja.
Oder hat sie um die Nullstelle herum eine leichte Krümmung, sodass die Nullstelle gleichzeitig ein Wendepunkt ist?
Nein.
Voraussetzung für einen Wendepunkt ist: 1. Ableitung ungleich 0, 2. Ableitung gleich 0, dritte Ableitung ungleich 0 (Wenn die 0 ist, die nächste ungerade usw.) Die 2. Ableitung von x² ist 2. Das ist definitiv nicht 0.
Ja, eine Gerade mit der Funktion 2x
Jede ! Parabel hat die Form
ax² + bx + c
ihre Ableitung ist
2ax + b
also eine "gerade" Gerade
.
bei der NormalP sind b und c Null.
Die Ableitung daher
2ax
.
Die nach oben geöffnete Parabel hat insgesamt ein Linkskrümmung ( Linkskurve ) . Die nach unten : rechts.
.
Bei der Nullstelle ist die Steigung Null , aber nicht weil es die Nullstelle ist.
.
Ein Wendepunkt ist die Stelle eines Graphen, wo er von Linkskurve zu rechts ( oder umgekehrt ) wechselt.
.
Das ist aber erst ab y = x³ möglich
Kleine Anmerkung: Eigentlich hat nur eine Funktion eine Ableitung und nicht ein geometrisches Objekt wie eine Parabel. Da die Schüler die Begriffe aber synonym verwenden, entstehen hierbei kleine Mißverständnisse. Auch die Darstellung der Bücher und der Lehrer ist wohl nicht immer ganz eindeutig.
Gleichung einer Normalparabel: y = a*(x - xs)^2 + ys .
Gleichung der Ableitung: y =2*a*(x - xs) .Dies ist eine Geradengleichung.
Nachtrag auf Grund der Hinweise: Für eine Normalparabel gilt a = 1 .
Wobei das "Normal" in "Normalparabel" bedeutet: a = 1, xs = 0, ys = 0. Die Gleichung ist also: y = x^2, die Ableitung: y = 2 * x
Das "Normal" in Normalparabel bedeutet nur bei dieser Art der Fragestellung nur, dass a= 1 ist. Auch eine gedrehte Normalparabel ist wieder eine Normalparabel. z.B. die Relation y = + - Wurzel(x). Dies geht aber wahrscheinlich über den augenblicklichen Inhalt deines Unterrichts hinaus.
"Meines" Unterrichts? Ich gebe keinen Mathematikunterricht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Normalparabel :
Die Normalparabel ist die spezielle Parabel mit der Gleichung y = x^2
Zitat: Ich gebe keinen Mathematikunterricht.
Das schien mir schon klar zu sein. Ich meinte den Unterricht dem du momentan beiwohnst. Eine Normalparabel ist im Prinzip eine geometrische Form. Diese hängt nicht von der von dir verwendeten Darstellung ab. Deine Darstellung y = x^2 ist nur eine mögliche Darstellung. Auch wenn es in dem von dir verwendetem Buch oder in der Darstellkung des Lehrers etwas ausschließender stehen sollte. Sinnvollerweise gibst du bei Fragen auch die Jahrgangsstufe an, aus der die Frage stammt.
Ich meinte den Unterricht dem du momentan beiwohnst.
Ich wohne schon seit Jahrzehnten keinem Unterricht mehr bei. Kann es sein, dass du mich mit dem Fragensteller verwechselst? "WikiPedia" ist kein "von mir verwendetes Buch", sondern eine Online-Enzyklopädie.
Ich habe auf deine Behauptung reagiert: Die Normalparabel ist die spezielle Parabel mit der Gleichung y = x^2
Das ist nicht "meine" Behauptung, sondern ein Zitat aus der Online-Enzyklopädie WikiPedia. Wenn du nach "Definition Normalparabel" googelst, bekommst du immer die gleiche Antwort: f(x)=x^2. Darum habe ich deine Antwort ergänzt, weil speziell a = 1, xs = 0, ys = 0 gilt, wenn es um eine "Normal"-Parabel geht. Das ist ja ein mathematisch feststehender Ausdruck.
Ja aber leider ist das so nicht ganz richtig. Der Graph der Funktion y = f(x) = x^2 ist zwar eine Normalparabel, aber nicht jede Normalparabel muß diese Darstsellung haben. Eine Parabel ist erst mal ein geometrisches Objekt und keine Funktion. Da sind schon die jeweiligen Sprechweisen falsch.
Ich halte die allgemein gültige Definition des Wortes "Normalparabel" für verbindlich und erkenne darin keine "falsche Sprechweise". Ich denke unsere unterschiedlichen Sichtweisen sind klar geworden und ich ziehe mich aus der Diskussion zurück.
P.S.: Sorry ich habe nur deine letzte Antwort beachtet.. Wikipedia hatte sogar recht nur deine spätere Darstellung, dass die Parabel mit der Funktion identisch wäre stimmt halt nicht. Und dies ist dann der Fehler den auch die Schüler machen. Auch der Graph der + - Wurzelfunktion ist eine Parabel. Dies stellt keinen Widerspruch zu Wikipedia dar.
Du bist Mathematiklehrer im Ruhestand. Dann erhellt dich eventuell ja die Definition vom Landesbildungsserver BaWü:
Wenn nicht die Attribute "verschoben" oder "gestaucht/gestreckt" dazu kommen, ist auch hier die Normalparabel genauso definiert wie auf WikiPedia. Vielleicht überzeugt dich auch ein Script aus der Uni Bielefeld: https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit04.pdf
Noch ein Argument: Der Graph der von dir angegeben Formel y = a*(x - xs)^2 + ys ist die allgemeine Parabel. Was soll dann "normal" bedeuten?
Sorry, wenn du nicht Mathe-Lehrer als Reputation angegeben hättest, würde ich auf diesem Detail nicht so herumreiten. Immerhin bist du von der Idee abgekommen, ich würde aktuell am Matheunterricht teilnehmen.
Ja ich habe a=1 nicht angegeben aber dies war zur Beantwortung der Frage auch nicht nötig, da auch die Ableitung der allgemenen Parabelfunktion eine Gerade darstellt. Auch eine verschobene Normalparabel ist eine Normalparabel. Das wird in dem von dir angegebenem Link nicht bestritten. Und wenn ich die Normalparabel verschiebe oder drehe bleibt sie ebenfalls eine Normalparabel. Die Wurzelfunktion ist dann die an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten gespiegelte Parabel mit der Funktionsgleichung y = x^2. Das Wort Parabel beschreibt einen Graphen und nicht eine spezielle Darstellung dieses Graphen.
Stimmt, die Gerade ist die Ableitung einer Parabel, - jeder quadratischen Parabel.
Was du noch erkennen kannst:
Die Nullstelle der Geraden (Schnittpunkt mt der x-Achse) ist der x-Wert des Scheitelpunkts.
Bei der Normalparabel es es Null (Ursprung).
Geht die Gerade von links unten nach rechts oben, ist die Parabel nach oben geöffnet. Läuft die Gerade von links oben nach rechts unten, ist die zugehörige Parabel nach unten geöffnet.
BTW:
Eine quadratische Parabel hat keinen Wendepunkt!
Dankeschön, aber warum nicht?