Integrationsmethoden?

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme und dankbar wäre für Tips.

Wie komme ich von

$\int\frac{1}{\cos\left(x\right)+1}dx$

auf

$\int\frac{\sec^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2}dx$

Es geht ums Umformen. Mein Integralrechner gibt als Kommentar "Umschreiben mit Hilfe trigonometrischer /hyperbolischer Identitäten"

Danke für eure Kommentare

Answer 1

[Rammstein53]

Es gilt folgendes Additionstheorem :

(a) cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Wegen sin²(x) = 1 - cos²(x) folgt:

(a) cos(2x) = cos²(x) - (1- cos²(x))

(a) cos(2x) = 2*cos²(x) - 1

(a) 2*cos²(x) = cos(2x) + 1

Weiter gilt folgende Beziehung:

(b) sec(x) = 1/cos(x)

Daraus folgt:

(b) sec²(x) = 1/cos²(x)

(b) 1/2 * sec²(x) = 1/(2*cos²(x))

(a) in (b) einsetzen:

1/2 * sec²(x) = 1/(cos(2x) + 1))

Mit der Substitution x -> x/2 folgt was zu beweisen war.

Comments

[Rammstein53]

Danke für den Stern

[usmi49]

Vielen Dank Rammstein53, das ist super und absolut gut naschvollziehbar für mich als schlechter Kandidat in trigonometrischen umwandlungen.

Die Substitution x = x/2 ist erforderlich um am Schluss cos(x) aus cos(2x) zu erhalten, oder?

[Rammstein53]

@usmi49

Um die Substitution deutlicher zu machen - aufgrund der obigen Ausführungen gilt:

1/2 * sec²(y) = 1/(cos(2y) + 1))

Mit y = x/2 folgt:

1/2 * sec²(x/2) = 1/(cos(x) + 1))

[usmi49]

@Rammstein53

Ja genau , das meinte ich. Danke nochmal und schönes Wochenende.

Answer 2

[ChrisGE1267]

Mit cos(x) = 1/2 (Exp(ix) + Exp(-ix)) sollte die Umformung gelingen…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[usmi49]

Danke für deine Antwort, leider ist e^ix und e^-ix noch nicht im Progamm

[ChrisGE1267]

@usmi49

Das ist der einfachste Weg - ansonsten musst Du, wie von meinem Vorredner vorgeschlagen, den mühsameren Weg über die Formeln zur Winkelhalbierung des Cosinus sowie möglicherweise andere trigonometrische Identitäten gehen. Diese ergeben sich bei der Verwendung der Exponentialfunktion ganz automatisch…

Answer 3

[Delta45]

Siehe 2. Kommentar

Comments

[Delta45]

Cos 2 alpha = cos^2 -1 also ist mit 2 alpha=x

Cos x +1= cos^2 ( x/2)

Und den kehrt bilden ist die rechte Seite sec^2 ( x/2)

[Delta45]

cos^2 - sin^2 = cos 2x stattdessen müsste hinhauen

Also für den sin^2 einsetzen

[usmi49]

@Delta45

Meinst du : sin^2(x) = cos^2(x) - cos(2x) ?

[Delta45]

@usmi49

Wahr der falsche Ansatz siehe 2.kommentar

Cos 2 alpha = (cos^2 alpha)-1