Integrationsmethoden?

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme.

Bei Bedarf kann ich sie auch gerne übersetzen.

The acceleration of a certain object moving down an inclined plane is given by 20-v

This leads to the equation $\frac{dv}{20-v}=dt$

If the object starts froom rest, find the expression for the velocity as a function of time.

Die Lösung ist $v=20\left(1-e^{-t}\right)$

Wie komme ich zu dieser Lösung?

(die aufgabe ist im Kapitel : "methods of integration", Abschnitt " basic logarithmic form")

Danke für eure Kommentare.

Answer 1

[mihisu]

Naja. Integriere einfach bei beiden Seiten...

$\int\limits_{v_0}^{v}\frac{\text{d}v}{20-v}=\int\limits_{t_0}^{t}\text{d}t$

Zum Startzeitpunkt t₀ = 0 ist v₀ = 0, da das Objekt aus der Ruhe starten soll.

$\int\limits_{0}^{v}\frac{\text{d}v}{20-v}=\int\limits_{0}^{t}\text{d}t$

Auf der linken Seite erhält man einen Logarithmus, da...

$f(v)=\ln\left(20-v\right)\quad \rightarrow\quad f'(v)=\frac{1}{20-v}\cdot \left(-1\right)$

Bzw. kann man das bei der Kettenregel wegen dem Nachdifferenzieren erhaltene -1 mit einem Minus vorne ausgleichen...

$g(v)=-\ln\left(20-v\right)\quad \rightarrow\quad g'(v)=-\frac{1}{20-v}\cdot \left(-1\right)=\frac{1}{20-v}$

Man kann also -ln(20 - v) als Term für eine entsprechende Stammfunktion finden.

Damit erhält man bei der Gleichung dann...

$\left[-\ln\left(20-v\right)\right]_{v=0}^{v=v}=\left[t\right]_{t=0}^{t=t}$

$-\ln\left(20-v\right)-\left(-\ln\left(20-0\right)\right)=t-0$

$-\ln\left(20-v\right)+\ln\left(20\right)=t$

$-\ln\left(20-v\right)=t-\ln\left(20\right)$

$\ln\left(20-v\right)=-t+\ln\left(20\right)$

$\text{e}^{\ln\left(20-v\right)}=\text{e}^{-t+\ln\left(20\right)}$

$\text{e}^{\ln\left(20-v\right)}=\text{e}^{-t}\cdot \text{e}^{\ln\left(20\right)}$

$20-v=\text{e}^{-t}\cdot 20$

$-v=-20+\text{e}^{-t}\cdot 20$

$v=20-\text{e}^{-t}\cdot 20$

$v=20\cdot \left(1-\text{e}^{-t}\right)$

Comments

[usmi49]

Danke mihisu,

ich schaue mir das Morgen oder Übermorgen in aller Ruhe genauer an und melde mich wieder fals ich Fragen habe.

Bis dahin, guten Rutsch ins 2025.

[usmi49]

@usmi49

Hallo mihisu,

ich habe nur nicht verstanden wie du von $\ln\left(20-v\right)$

auf $e^{\ln\left(20-v\right)}$

kommst ?

Danke für dein Kommentar.

[usmi49]

@usmi49

ich kenne e^ln(x) = x =ln(e^x)

[mihisu]

@usmi49

Da habe ich eine Äquivalanzumformung durchgeführt... Ähnlich wie man auf beiden Seiten der Gleichung etwas addieren/subtrahieren/multiplizieren/dividieren kann, kann man auch auf beiden Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion anwenden (ohne dass sich dabei der Wahrheitswert der Gleichung ändert, da man ja auf beiden Seiten das gleiche macht und das auch wieder umkehrbar ist).

Wenn a = b, dann ist auch e^a = e^b. Und im konkreten Fall dann eben mit a = ln(20-v) und b = -t+ln(20).

Und warum ich das getan habe, hast du im Grunde mit deinem letzten Kommentar bereits beantowortet, da sich der Logarithmus und die Exponentialfunktion dann gegenseitig aufheben und sich so also den Logarithmus wegbekomme.

[usmi49]

@mihisu

Danke viel mal mihisu,

jetzt ist alles klar für mich.

Answer 2

[AusMeinemAlltag]

dv/(20-v)=dt | * (20-v)

dv=dt*(20-v) | : dt

dv/dt=20-v

v(t)´=20-v

Und diese Dgl. löst du nun und erhältst:

v(t)=c*e^(-t)+20

c ist eine frei wählbare Konstante. Aus Gründen die ich nicht kenne hat man bei dir c=-1 gesetzt.

Woher ich das weiß: Recherche

Comments

[usmi49]

Ich nehme an, das ( -1)*e^-t kommt von dem Lösungsansatz von Mihisu hier oben.

"Bzw. kann man das bei der Kettenregel wegen dem Nachdifferenzieren erhaltene -1 mit einem Minus vorne ausgleichen.."