Integral HöMA?

Berechnen Sie das Integral

$\int0\ a\ x^2\ dx\ für\ beliebiges\ a\ >\ 0.$ (0 unten a oben beim Integral)

Gehen Sie dabei wie folgt vor.

1. Definieren Sie zu n ∈ N die Feinheit h := a/n , Punkte xk = kh für k = 0, 1, . . . , n und die Treppenfunktion

$φn(x)=(kh)^2\ für\ x∈(xk,\ xk+1),\ k=0,1,...,n−1.$

Berechnen Sie das Integral

$\int0\ a\ φn\left(x\right)dx$ Tipp: Es gilt die Summenformel

$\sum_{k=1}^nk^2\ =\ \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ 2. Bilden Sie den Grenzwert

$\lim\ n->unendlich\ \int0\ a\ φn(x)dx$

Für die Aufgabe dürfen Sie als gegeben annehmen, dass φn auf [0, a] gleichmäßig gegen f(x) = x^2 konvergiert.

Comments

[PWolff]

Was ist jetzt deine Frage? Bzw. an welcher Stelle kommst du nicht weiter?

[Vrunchy]

Ich wollte wissen wie ich anfangen muss

Answer 1

[JayRaa]

Um das Integral ∫[0, a] x^2 dx zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

Definieren wir die Feinheit h = a/n, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Setzen wir die Punkte x_k = kh für k = 0, 1, ..., n.

Definieren wir die Treppenfunktion φ_n(x) = (kh)^2 für x ∈ (x_k, x_(k+1)), k = 0, 1, ..., n-1.

Berechnen wir das Integral ∫[0, a] φ_n(x) dx.

Mit der Summenformel ∑_(k=1)^n k^2 = (1/3) n^3 + (1/2) n^2 + (1/6) n und dem Grenzwert lim_(n->∞) ∫[0, a] φ_n(x) dx können wir das Integral berechnen.

Hinweis: Da φ_n gleichmäßig gegen f(x) = x^2 auf [0, a] konvergiert, können wir den Grenzwert als das gesuchte Integral ∫[0, a] x^2 dx betrachten

Answer 2

[PWolff]

Erstens, mach dir klar, wie die angegebene Treppenfunktion für verschiedene a und verschiedene n aussieht. Am besten zeichnest du ein paar davon auf.

Zweitens: schau dir an, wie das Integral für Treppenfunktionen definiert ist. Schreib die Summe hin, die sich ergibt.

Drittens: klammere gemeinsame Faktoren aus der Summe aus, bis nur noch k² "unter" der Summe steht.

Viertens: wende die angegebene Formel an.

Fünftens: Ermittle den Grenzwert für n gegen unendlich.

Sechstens: such aus dem Vorlesungsscript oder dem Lehrbuch den passenden Satz heraus, der gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge als Voraussetzung hat.