In welchem Winkel müsste man einen 100g schweren Ball von einer Höhe von 1,80m abwerfen, um die maximale Wurfweite zu erreichen?

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6 Antworten

Ohne Luftwiderstand geht das so: x(t) = vx0 • t = v0 • cos(Alpha) • t, und y(t) = h + vy0 • t -1/2 • g • t^2 = h + v0 • sin(Alpha) • t -1/2 • g • t^2.
Am Ziel ist y(t) = 0, also die Gleichung nach t auflösen, negative Lösung fällt weg, dann hast du ein Ergebnis für t, was von v0, alpha und h abhängt. Alpha ist die gesuchte Variable, also ableiten nach Alpha und Extremwert für t bestimmen. Wegen der Linearität ist das dann auch der Extremwert für x(t)

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Kommentar von lks72
20.08.2016, 16:34

Mit Luftwiderstand hast du zwei Differentialgleichungen (da der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit eingeht, und zwar immer genau der Geschwindigkeitskomponente, die exakt der momentanen Flugrichtung entgegenfesetzt ist) Dieses System von Differentialgleichungen ist analytisch wohl nicht lösbar, das macht man numerisch mit einem entsprechenden Programm.

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Kommentar von Willibergi
20.08.2016, 16:40

Erst mal danke! ;)

Die Bedeutung der Variablen macht mir gerade etwas zu schaffen.

x(t): x-Wert? Wenn ja, wovon?
y(t): y-Wert? Wenn ja, wovon?
x₀: x-Wert der Abwurfstelle?
v₀: Geschwindigkeit an der Abwurfstelle?
t: Zeit? Was hat die damit zu tun?
h: Höhe - wovon?
g: höchstwahrscheinlich Erdbeschleunigung

LG Willibergi

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Kommentar von lks72
20.08.2016, 17:16

h ist die Abwurfhöhe. t ist die Zeit, x(t) ist die x Koordinate des Balls nach t Sekunden, y entsprechend. v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit, vx0 ist die x Komponente der Anfangsgeschwindigkeit, und dies ja v0 • cos(alpha), wobei alpha der Winkel gegen die Horizontale ist.

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zu dieser Frage können Dir die Ballistiker der Artillerie ausführlich weiterhelfen ...  :-)

Beim menschlichen Ballwurf kannst Du fast alles vernachlässigen und die Antwort ist 42 ... aeh nein, 45°, im Rahmen der möglichen Genauigkeit der Ausführung

Wenn Du dagegen Kanonen anschaust, dann spielt auch noch der Luftdruck und seine Abnahme mit der Höhe eine Rolle, und auch die Erdkrümmung (und deswegen ist es eben theoretisch schon möglich, unendlich weit zu "werfen").

Auch die Rotation und Oberflächenstruktur des Geschosses oder Balls ist m.E. nicht zu vernachlässigen. (z.B. Golfbälle haben diese Grübchen, weil sie dadurch weiter fliegen ...)

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Für den Abwurfwinkel, den man erreichen muss um die maximale Länge eines Wurfes zu erreichen, gilt: 45°
Die "Wurfparabel" ist eigentlich nur nahezu eine Parabel, sie wird eigentlich gen Aufprallpunkt gestaucht. Dies hat, ganz recht bemerkt, etwas mit dem Luftwiderstand zu tun.

Und wenn du versuchst, einen beliebigen Ball in einem 45°, 50° und 40° Winkel abzuwerfen, unter konstanten Bedingungen, wirst du definitiv herausfinden, dass ein kleiner Längenunterschied zwischen den drei Versuchen vorherrscht, und der 45°-Winkel-Versuch die längste Strecke zurücklegt.

Bei einem Ball gilt das auf jeden Fall, bei Speeren und dergleichen bin ich mir nicht so sicher.

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Kommentar von Willibergi
20.08.2016, 15:33

Gibt es dafür einen Beweis bzw. eine Herleitung?

LG Willibergi

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Kommentar von lks72
20.08.2016, 16:07

Die 45 Grad stimmen nur, wenn Abwurf und Ziel auf gleicher Höhe sind.

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 Die Extremalbedingung

    X  (  t  ;  ß  )  =  v0  t  cos  (  ß  )  =  max      (  1a  )

     Wir haben die Nebenbedingung

   Y  (  t  ;  ß  )  =  1.8  +  v0  t  sin  (  ß  )  -  g / 2  t  ²  =  0    (  1b  )

   Zur Anwendung kommt das von Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino angegebene Verfahren; der ===> Lagrangeparameter sei k . Wir bilden die Linearkombination 

   H  (  t  ;  ß  )  :=  X  (  t  ;  ß  )  +  k  Y  (  t  ;  ß  )   (  2  )  

   Notwendige Bedingung für größte Wurfweite: Der Gradient von H muss verschwinden

   H_ß  =  v0  t  [  k  cos  (  ß  )  -  sin  (  ß  )  ]  =  0     (  3a  )

          k  =  tg  (  ß  )    (  3b  )

   k hat also eine anschauliche Bedeutung.

   H_t  =  v0  cos  (  ß  )  +  k  [  v0  sin  (  ß  )  -  g  t  ]  =  0     (  4a  )

    k einsetzen aus ( 3b )

       g  t  cos  (  ß  )  =  v0     (  4b  )

   Damit haben wir die Extremwertaufgabe gelöst; jetzt kommt die mühselige Nachbereitung. Einsetzen von t aus ( 4b ) in ( 1b )

  1.8 cos  ²  (  ß  )  +  ( v0 ² / g ) sin ( ß ) cos ( ß ) - ( v0 ² / 2 g ) = 0

     Gäbe es den inhomogenen Term 1.8 nicht, würde sich v0 heraus kürzen; und mit dem ===> Additionsteorem bekämst du sin ( 2 ß ) = 1 .

   Erstens hängt unser Winkel von v0 ab; und zweitens ist diese Gleichung der Art kompliziert, dass nicht mal Wolfram einen Ansatz findet.

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Ich habe mal gelesen, dass ein Wurf im 45° Winkel immer am weitesten fliegt.

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Kommentar von Willibergi
20.08.2016, 15:33

Gibt es dafür einen Beweis bzw. eine Herleitung?

LG Willibergi

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45 Grad ist die Lösung.

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