Ich soll beweisen, dass die Menge P eine Partition von M mit =p = Kern(f) ist. Kann mir jemand mit diesem Beweis helfen?

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ich weiß nicht, was f^-1({x}) bedeuten soll und ich weiß noch immer nicht so genau wie man etwas beweist...

Ich denke zu wissen, dass P = M X M gelten müsste.

Answer 1

[Willibergi]

$f^{-1}(\{x\}) = \{ m \in M: f(m) = x \}$

also die Menge der Werte aus m, die auf x abgebildet werden.

Du sollst jetzt zeigen, dass P eine Partition, also eine disjunkte Zerteilung der Menge M ist - oder formal:

$M = \displaystyle\bigcup_{T \in P} T$

und

$\forall T \in P: T \neq \emptyset$ $\forall T_1, T_2 \in P: T_1 \neq T_2 \implies T_1 \cap T_2 = \emptyset$

(d.h. alle Mengen aus P sind nicht-leer und paarweise disjunkt).

Diese drei Eigenschaften musst du jetzt zeigen.

Tipp: Zum Zeigen der Vereinigungseigenschaft schreibe die Vereinigung als

$\displaystyle \bigcup_{x \in \operatorname{Bild}(f)} f^{-1}(\{x\})$

und zeige die zwei Inklusionen.

Kommst du jetzt alleine weiter?