Äquivalenzrelation auf Potenzmenge beweisen?


22.01.2021, 19:53

N steht für alle natürlichen Zahlen.

2 Antworten

Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge P(N) ist.

Das musst du zeigen, das ist deine Angabe.

Genauer musst du folgende Sachen zeigen...

1.- Reflexiv:

A~A <=> Wenn A eine Bijektion auf sich selbst ist. Gibt es eine Bijektion? Spoiler: Identitätsabbildung

2.- Symmetrisch:

A~B => B~A <=> Wenn es eine Bijektion von A auf B gibt, gibt es auch eine Bijektion von B auf A? Spoiler: Umkehrabbildung

3.- Transitiv:

A~B und B~C => A~C <=> Wenn f: A->B bij. und g: B->C bij., ist dann g°f: A->C bij?

Hier musst du also zeigen, dass die Verknüpfung g°f bijektiv (surjektiv+injektiv) ist. Das geht eigentlich recht einfach.

Den Verweis auf die Potenzmenge von IN brauchst du eigentlich nicht, das geht auch mit allgemeinen Mengen so.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Simpel:
du musst die üblichen Eigenschaften reflexiv, transitiv, symmetrishc.

Seien A,B,C Elemente aus P(N).

heißt A,B,C ist jeweils eifnach eine endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen.

zu reflexiv:
du sollst zeigen dass A~A, also es eine bijektion gibt von A zu sich selbst.
Hm, wie wärs mit f(x)=x? wo Def und Wertemenge gleich A ist? :-)

symmetrisch:

Sei A~B, also exisitiert eine bijektive Funktion f mit f(x)=y, wobei x aus A, y aus B.
Das übliche halt.

weil f bijektiv, existiert aber auch eine umkehrfunktion
g(x):=f^(-1)(x), die x=g(y) erfüllt und ebenso bijektiv ist.

bildet also bijektiv B auf A ab.

Damit existiert also eine bijektive Funktion g(x) von B nach A, weshalb B~A ist.

transitiv:
sei A~b, also exisitert f mit f(x)=y, und B~C, es exisitiert g(y)=z, mit x aus A y aus B z aus C.

Sei h(x):=g(f(x))

f bildet bijektiv von A nahc B ab, g bildet das Ergebnis bijektiv von B nahc C ab.
Also bildet zwangsläufig h bijektiv von A nach C ab.

Kannst ja ne Umkehrfunktion dazu angeben sodass
h(h^-1(x))
=h^-1(h(x))=identität(x)

damit ist h(x) bijektiv von A nahc C und damit A~C.
Die Umkehrfunktion zu finden ist etwas nervig, wenn man es richtig begründen will, aber ansosnten passt das :-)

was du machen kannst:

wenn du g(f(x))=z hast, kannst du rechnen:
g'(g(f(x))=g'(z)
f(x)=g'(z)
x=f'(g'(z))

habe apostroh benutzt um die Umkehrabbildung zu benennen.
Damit ist also
h'(z)=f'(g'(z))
die umkehrfunktion zu h von C nach A.

Dass das wirklich ne umkehrfuntkion ist , ne bijektive, zeigst du auch direkt:
h(h'(x))=g(f(f'(g'(x)))=g(g'(x))=identität(x)
h'(h(x))=f'(g'(g(f(x)))=f'(f(x))=identität(x)

damit ist h'(x) also eine umkehrfunktion zu h(x) und damit h(x) bijektiv :-)

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