Auf der Potenzmenge P(X) jeder Menge X ist die Inklusion eine Relation?
hallo zusammen,
kann mir jemand erklären, ob ich das Thema Relation richtig verstehe?
Ich möchte also die folgende Aussage auf reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv untersuchen:
Auf der Potenzmenge P(X) jeder Menge X ist die Inklusion ⊆ eine Relation.
zuerst möchte ich wissen, ob ich das sprachlich richtig verstehe. Also eine Potenzmenge ist erstmal eine Menge aller mengen auf X. Die Aussage oben sagt uns doch, dass wir eine Potenzmenge P(X) haben auf/in dieser Menge "leben" halt alle Teilemengen von X. Jetzt verstehe ich nicht ganz, was mit "jeder Menge X ist die Inklusion ⊆ eine Relation" gemeint ist. Ist hier damit gemeint, dass in dieser P(X) alle Teilmengen in einer relation ⊆ zueinander stehen? verstehe den Satz irgendwie nicht.
Ich definiere also die Inklusion als R ⊆ := {für alle (x,y)∈X * Y: x⊆y} . Obwohl, ich weiß nicht, x,y sind eigentlich auch mengen, also müsste man die doch großschreiben?
Nun untersuche ich auf
reflexiv: ja, weil für alle x gilt x⊆x
symmetrisch: nein, weil z.B {1}⊆{1,2} aber nicht {1,2}⊆{1}
antisymmetrisch: Ja, weil aus x⊆y und y⊆x folgt x=y
transitiv : Ja
Laut Lösung ist die Inklusion ⊆ auf P(X) reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Aber da steht nicht genau wie man darauf kommt, also weiß ich nicht ob ich oben richtig vorgegangen bin. Für Hilfreiche Antworten bin ich sehr dankbar
4 Antworten
Erinnere dich daran was ich dir hier
https://www.gutefrage.net/frage/abbildungen-potenzmenge-bildmenge-urbilder#answer-436702456
geschrieben habe. Mengenlehre ist Gehirnverknotung. Du mußt dir bewußt sein mit was du gerade operierst.
Die Relation muß lauten:
(x, y) € R <=> x Teilmenge y. Dabei sind x und y Elemente von P(X), also von der Potenzmenge und damit wieder Mengen. D.h. zu prüfen ist: Ist a € x so folgt a € y.
Und bewiesen hast du Reflexivität, antisymmetrie und transitivität genau richtig, gut gemacht.
Ja, du bist richtig vorgegangen, ja, du solltest die Mengen immer groß schreiben. Ist zwar nur eine Konvention, aber eine sinnvolle.
Bei der Symmetrie machst du das ja nur für ein Beispiel, das ist zunächst ok. Du kannst aber leicht zeigen, dass für alle Mengen X, die nicht die leere Menge sind, keine Symmetrie gegeben ist (Hinweis: vergleiche die leere Menge mit der Menge selbst)
hier noch ein kleines bild
ich glaube sie meinen äquivalenzrelationen da diese reflexiv, transitiv und symmetrisch sind. Die Inklusion ist keine äquivalenzrelation weil sie nicht symmetrisch ist aber sie ist wie in der Lösung Reflexiv, Transitiv und Antisymmetrisch