Ich komme nicht mehr weiter? Ist es richtig das der hochpunkt bei (1,5a|6,75a^2-6a+4) liegt?
Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa (x)=-x^2+3ax-6a+4
Bestimme die Extrempunkte des Graphen von Fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der y-Achse bzw. auf der x-Achse?
Und was soll ich genau bei der letzte Frage machen?
Danke für jede Hilfe!
4 Antworten
Betrachte die Funktion
f(x, a) = -x^2 + 3ax - 6a + 4
Bestimme nun zunächst das Maximum in x. Es folgt mittels der Ableitungen
f'(x, a) = -2x + 3a
f''(x, a) = -2
Aus dem notwendigen Kriterium für eine kritische Stelle
f'(x,a) = 0 = -2x + 3a ---> x = 3a/2
Und schließlich für das hinreichende Kriterium
f''(3a/2, a) = -2 < 0 ---> Maximum
Somit liegt an der Stelle x = 3a/2 ein Maximum (Hochpunkt) vor. Speziell folgt durch Einsetzen für die Koordinaten des Hochpunktes:
H = (3a/2 | 9a²/4 - 6a + 4 )
Wann liegt nun der Hochpunkt auf der y-Achse?
--> Dies ist genau dann der Fall, wenn die X-Koordinate der Extremstelle verschwindet. Es folgt somit: 3a/2 = 0 ----> a = 0
Wann liegt das Extremum auf der x-Achse?
--> Dies ist genau dann der Fall, wenn die Y-Koordinate des Hochpunktes verschwindet. Es folgt somit:
9a²/4 - 6a + 4 = 0 ----> a = (24/18) +/- sqrt((24/18)^2 - 16/9)) = 24/18
Wie kann es sein, dass der hoch Punkt (3a/2 | 9a²/4 - 6a + 4) denn so sieht der Rechenweg aus:
(-1,5a)^2+3a*1,5a-6a+4
2,25a^2+4,5a^2-6a+4
jetzt müssen wir 2,25a^2 +4,5a^2 zusammenrechnen also 6,75a^2
also 6,75a^2-6a+4
weil fa'(x) = -2x + 3a ist , ist 1.5a als x-Wert des Hochpunkt RICHTIG.
Aber dann setzt man 1.5a in fa(x) ein .
Da wird es bei deinen Werten seltsam :))
-(1.5a)² + 3a*1.5a - 6a + 4 ist
-2.25a² + 4.5a² -6a +4 =
2.25a² - 6a + 4
AHA , jetzt verstehe ich deinen Fehler
-x² heißt nicht (-1.5a)² sondern -(1.5a)² !!!! ( bei 2.25+4.5 = 6.75 )
Und was soll ich genau bei der letzte Frage machen?
Der HP AUF der x Achse heißt,
dass der y - Wert des HP Null ist .
0 = 2.25a² - 6a + 4
0 = a² - 24/9*a + 16/9
pq Formel (24/9 durch 2 = 24/18 = 4/3 )
4/3 + - Wurz( (4/3)² - 16/9 )
4/3 + - Wurz( 16/9 - 16/9 )
a = 4/3
Der HP AUF der y Achse heißt,
dass der x - Wert des HP Null ist .
0 = 3/2 * a >>>> a = 0
Fertig
PS :Dein Problem wie bei vielen : Die Basics !
Verinnerliche noch mal , wie bei Potenzen das mit + und - geht
Der Graph berührt die x-Achse,wenn eine doppelte Nullstelle vorliegt
fa(x)=0=-1*x²+3*a*x-6*a+4 dividiert durch -1
0=x²-3*a*x+6*a- 4 ist eine Parabel p-q-Formel anwenden
p=-3*a und q=6*a-4
x1,2=-(-3*a)/2+/-Wurzel((-3*a/2)²-(6*a-4)=3/2*a+/-Wurzel(9/4*a²-6*a+4)
doppelte Nullstelle,wenn der Radikand (9/4*a²-6*a+4)=0 ist
0=9/4*a²-6*a+4 ist eine Parabel,p-q-Formel anwenden
dividiert durch 9/4
0=a²-24/9*a+16/9=a²-8/3*a+16/9
a1,2=-(-8)/(3*2)+/-Wurzel((-8/(3*2))²-16/9)=8/6+/-Wurzel(64/36-16/9)
a1,2=8/6+/-Wurzel(64/36-64/36)=8/6+/-0
also a1=a2=a=8/6
eingesetzt
f(x)=-1*x²+3*8/6*x-6*8/6+4=-1*x²+4*x-4
fa(x)=-1*x²+3*a*x-6*a+4 mit a=8/6
berührt die x-Achse bei xmax=2 und ymax=0 Maximum
Extrempunkt liegt auf der y-Achse,wenn die Parbel nicht auf der x-Achse verschoben ist
hat dann die Form y=f(x)=a*x²+C
allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys
Scheitelpunkt Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
es muß sein,xs=0
fa(x)=-1*x²+3*a*x-6*a+4
hier a1=3*a
xs=0=-(3*a)/(2*(-1))=3/2*a ist NULL,wenn a=0
f(x)=-1*x²+4
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
fa(x)=-1*x²+3*a*x-6*a+4 hat die Form f(x)=-1*x²+p*x+q → f´(x)=0=-2+p
f´a(x)=0=-2*x+3*a → x=3/2*a=1,5*a
f´´(x)=-2<0 also ein Maximum
eingesetzt fa(...)=-1*(3/2*a)²+3*a*(3/2*a)-6*a+4
fa(..)=-9/4*a²+9/2*a²-6*a+4=-9/4*a²+18/4*a²-6*a+4=9/4*a²-6*a+4
xs=3/2*a=1,5*a
ys=9/4*a²-6*a+4=2,25*a²-6*a+4
Mach die Probe mit a=2 der Wert 6,75 stimmt nicht
f(x)=-1*x²+6*x-8 Maximum bei x=3 und y=1
x=3/2*a hier ist das Maximum eingesetzt
fa(..)=-1*(3/2*a)²+3*a*(3/2*a)-6*a+4
Hinweis: -1*x² ist nicht (-1*x)²
da steht fa(...)=-1*(3/2*a)²+....=-1*9/4*a²=-9/4*a²
Wie kann es sein, dass der hoch Punkt (3a/2 | 9a²/4 - 6a + 4) denn so sieht der Rechenweg aus:
(-1,5a)^2+3a*1,5a-6a+4
2,25a^2+4,5a^2-6a+4
jetzt müssen wir 2,25a^2 +4,5a^2 zusammenrechnen also 6,75a^2
also 6,75a^2-6a+4