Aufgabe?
Gegeben sei die Funktionenschar f k (x)=x^ 3 +3kx^ 2 +k , k in Rk>0 . a) Bestimme in Abhängigkeit von k die Extrempunkte und Wendepunkte. b) Bestimme die Ortslinie, auf der alle Hochpunkte der Funktionenschar liegen Kontrollergebnis: Die Hochpunkte haben die Koordinaten H(-2k|4k^ 3 +k) . c) Für welchen Wert von k läuft der Graph durch den Punkt P(-2|18) d) Für welche k hat der Graph eine Wendetangente mit der Steigung - 3 ?
könnte mir jemand bei der d helfen
3 Antworten
f (x)=x^ 3 +3kx^ 2 +k
f'(x) = 3x^2 + 6kx
f''(x) = 6x + 6k
d) Wir haben zwei Unbekannte: x und k, und zwei Bedingungen, nämlich Wendepunkt und dort eine Steigung von -2:
f'(x) = 3x^2 + 6kx = -3
f''(x) = 6x + 6k = 0
aus 6x + 6k = 0 folgt:
6k = -6x
k = -x
in 3x^2 + 6kx = -3 eingesetzt:
3x^2 + 6(-x)x = -3
3x^2 - 6x^2 = -3
-3x^2 = -3
x^2 = 1
x = 1
k = - 1
Damit:
f(x) = x^3 - 3x^2 +1
So sieht der Graph aus. Offensichtlich liegt der Wendepunkt bei W(1/-1)
d) Für welche k hat der Graph eine Wendetangente mit der Steigung - 3 ?....
f ' (wendestelle aus a) ) = -3
und k berechnen.