Gibt es eine ganzrationale Funktion fünften Grades ohne Nullstellen?
Ich würde mal behaupten ja, aber mir fällt keine ein. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen??
3 Antworten
Ich behaupte nein.
Es gibt immer mindestens eine reelle Nullstelle und immer genau 5 Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen (darunter können einige mehrfach auftreten).
Begründung. Polynome ungeradem Grads laufen immer entweder von +∞ nach -∞ oder von -∞ nach +∞ und sind stetig.
Ich sehe nicht, wo hier der kleine Gauß helfen soll. o.O
Ungerade Funktionen laufen immer "von links unten nach rechts oben" oder "von rechts unten nach links oben" - wie soll das gehen, ohne die x-Achse zu überschreiten?
Einzige Möglichkeit, dass das "Überschreiten" der x-Achse keinen Schnittpunkt (und damit keine Nullstelle) liefert, ist ein entsprechender Definitionsbereich, der diese "potentielle Nullstelle" ausschließt - z. B. wenn die Funktion nur auf den rationalen Zahlen definiert ist, die Nullstelle aber irrational wäre (bei Definition auf den ganzen Zahlen würde auch ein Bruch als Nullstelle schon ausfallen).
Über ℚ: ja. Z. B. jedes irreduzible Polynom 5. Grades über ℤ, z. B. x -> x^5 - 2.
Über ℂ sowieso nicht - hier hat jedes Polynom mindestens 1. Grades mindestens eine Nullstelle.
Über ℝ auch nicht, da für Argumente mit hinreichend großem Betrag die Vorzeichen für positive und negative Argumente verschieden sind. Bzw. in ℝ ∪ {-∞, +∞}: sign( lim(x->-∞) f(x) ) = - sign( lim(x->+∞) f(x) )
(Beweis der Existenz einer Nullstelle über den Zwischenwertsatz)
Das gilt übrigens für alle Polynome ungeraden Grades über ℝ.
Und immer wieder hilft der kleine Gauß