Gibt es eine ganzrationale Funktion fünften Grades ohne Nullstellen?

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2 Antworten

Ich behaupte nein. 

Es gibt immer mindestens eine reelle Nullstelle und immer genau 5 Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen (darunter können einige mehrfach auftreten).

Begründung. Polynome ungeradem Grads laufen immer entweder von +∞ nach -∞ oder von -∞ nach +∞ und sind stetig.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz\_der\_Algebra

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Kommentar von dododorian
25.01.2016, 15:08

Und immer wieder hilft der kleine Gauß 

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Über ℚ: ja. Z. B. jedes irreduzible Polynom 5. Grades über ℤ, z. B. x -> x^5 - 2.

Über ℂ sowieso nicht - hier hat jedes Polynom mindestens 1. Grades mindestens eine Nullstelle.

Über ℝ auch nicht, da für Argumente mit hinreichend großem Betrag die Vorzeichen für positive und negative Argumente verschieden sind. Bzw. in ℝ ∪ {-∞, +∞}: sign(  lim(x->-∞) f(x)  ) = - sign(  lim(x->+∞) f(x)  )

(Beweis der Existenz einer Nullstelle über den Zwischenwertsatz)

Das gilt übrigens für alle Polynome ungeraden Grades über ℝ.

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