Hypergeometrische Verteilung?
Hey, kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Seien p ∈ (0, 1), n, m ∈ N und seien X ∼ Bin(n, p) und Y ∼ Bin(m, p) unabhängig. Zeigen Sie dass die bedingte Verteilung von X gegeben X + Y = z, z ∈ {0, 1, . . . , n + m}, die hypergeometrische Verteilung Hyp(·; z, n, n + m).
1 Antwort
Sei X+Y= z. Das geht nur wenn X= j und Y= z-j.
Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist
B(n; p; j) B(m; p; z-j) =
(n über j) p^j (1-p)^(n-j) (m über z-j) p^(z-j) (1-p)^(m-(z-j)) =
p^z (1-p)^(n+m-z) (n über j) (m über z-j)
Die Summe über alle möglichen j ist
p^z (1-p)^(n+m-z) Summe (n über j) (m über z-j)
p^z (1-p)^(n+m-z) (n+m über z) (mit Hilfe der Vandermonde Identität)
= B(n+m; p; z)
Jetzt ist
P( X= j | X+Y= z ) =
P( X= j und X+Y= z ) / P( X+Y= z ) =
(n über j) (m über z-j) / (n+m über z)
Das ist die gesuchte hypergeometrische Verteilung.