Hilfe Extremwertaufgabe?

4 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet
berndao2
02.01.2020, 15:11

Falsch. Das Stadion hat die 400 meter Umfang, NICHT das Rechteck!
also
U(x,y)=x+x+Pi*(y/2)^2=2x+ Pi/4*y^2
das setzt du gleich 400 und löst nach y oder x auf.
einsetzen in die zielfunktion und dann die zielfunktion hinsichtlich der noch vorhandenen variable maximieren.

Lemec111 
Beitragsersteller
 02.01.2020, 15:18

Ich verstehe nicht ganz wie du auf U(x;y) kommst? Wie kommt diese Gleichung zusammen. Kannst du das nochmal ausführlich aufschreiben ?

berndao2  02.01.2020, 15:53
@Lemec111

untere rechteckseite, obere rechteckseite und die 2 halbkreise.

wobei ich oben einen fehler gemahct hatte.
(hatte versehentlich kreisfläche statt umfang benutzt)
die umfangsformel muss natürlich

U(x,y)=x+x+2*Pi*(y/2)
= 2x+Pi*y

Lemec111 
Beitragsersteller
 02.01.2020, 16:20
@berndao2

Okay vielen Dank! Ich habe jetzt für y= 200-pi raus. Nun brauche ich aber noch x wie bekomme ich den Wert raus?
fjf100
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
02.01.2020, 17:28

Merke:Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptgleichung (Hauptbedingung),diese soll ja optimiert werden.

Umfang Kreis Uk=2*r*pi=d*pi

1) Ar=x*y

2) U=2*x+y*pi ergibt y=(U-2*x)/pi

2) in 1)

Ar(x)=x*(U-2*x)/pi=U/pi*x-2/pi*x²

Ar(x)=-2/pi*x²+U/pi*x

nun eine Kurvendiskussion durchführen

A´r(x)=0=-4/pi*x+U/pi ergibt x=U/pi*pi/4=U/4

x=400 m/4=100 m und y=(400 m-2*100 m)/pi=63,66 m

nun prüfen,ob ein Minimum oder Maximum vorliegt

A´´r(x)=-4/pi<0 also ein Maximum

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert
xxxReaver
02.01.2020, 15:12

Aber der Umfang soll gleich lang bleiben oder wie?
Lemec111 
Beitragsersteller
 02.01.2020, 15:18

Ja!

xxxReaver  02.01.2020, 15:30
@Lemec111

Ein Quardrat ist immer Maximal von der Flächengröße eines Vierecks. Also zum Beispiel 3*3 = 9 ist größer als 2*4 = 8, obwohl der Umfang gleich ist. Also versuchen wir x = y anzustreben um eine maximale Fläche zubekommen.

400 = pi * y + 2x

400 = pi * x + 2x

400 = (2+pi)*x |/(2+pi)

400/(2+pi) = x

77,7969 = x

Prüfen:

77,7969* pi + 2*77,7969 = 400

Fläche:

77,7969² = 6052,3576m²

Lemec111 
Beitragsersteller
 02.01.2020, 15:46
@xxxReaver

Danke aber ich verstehe nicht wie du auf die Gleichung kommst: 400 = pi * x + 2x,

Könntest du mir das bitte erklären? Woher stammen die einzelnen Sachen

xxxReaver  02.01.2020, 19:10
@Lemec111

Die Formel um den Umfang eines Kreises zu berechnen ist pi * Durchmesser. Und zwei Halbkreise sind das gleiche wie ein Kreis. Dazu kommen dann noch die zwei x, welche die obere und untere Kante des Vierecks sind.