Extremwertaufgabe?
Ich weiß echt nicht wie ich hier anfangen soll.
Ich hoffe jemand von euch kann mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen.
Schon mal Danke im Voraus!
Aufgabe 7 und 8
2 Antworten
Aufgabe 8) Die Materialkosten K sollen minimiert werden. Das ist schon die Extremalbedingung.
Wovon sind die Materialkosten abhängig? Von der Fläche der Pappe P und der des Metalls M. Die Metallkosten sind 4 mal so hoch.
K(P,M) = P + 4*M
Die Pappkosten sind wiederum abhängig von der Fläche. Die Fläche ist rund und es gibt 2 Deckel. Die Fläche ist nur vom Radius abhängig.
P(r) = 2* pi * r²
Die Metallfläche ist abhängig vom Radius und von der Höhe der Dose.
M(r,h) = 2*pi * r * h
Da jetzt bekannt ist, was wovon abhänig ist, kann die Kostenfunktion angepasst weden: K(P,M) = P(r) + 4*M(r,h) Jetzt einsetzen:
minimiere K(r,h) = 2* pi * r² + 8*pi * r * h
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Jetzt kommt die Nebenbedingung. Wann wären jetzt die Kosten am geringsten? Wenn r den Wert 0 hätte. Problem dabei ist die Dose wäre dann nicht existent. Daher steht in der Aufgabenstellung die Dose soll ein Volumen von 1000 cm³ haben. Die Formel für das Volumen ist die Nebenbedinung.
V(r,h) = pi * r² * h = 1000 cm³
Jetzt geht wieder alles nach Schema F. Die Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und dann in die Extremalbedingung einsetzen. Bei der Extremalbedingung dann den Tiefpunkt suchen, denn da sind die Kosten in Abhängigkeit von r oder eben h am geringsten. Hast du eine Variable bestimmt, die andere suchen.
y * x = 3
f(x) = y = 3/x für x ungleich 0
g(x) = f(x) + x = 3/x+x
g‘(x) = (-3/x^2)+1
g‘(x) = 0
0 = (-3x^-2)+1
1/3 = x^-2
3 = x^2
x = sqrt(3)
f(sqrt(3)) = 3/sqrt(3) = sqrt(3) = x
vielen dank für deine hilfe