Problem bei extremwertaufgabe mit Kurvenschar?
Halle :) ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Es handelt sich um die Funktion:
f(x)=2/(x-2)^2
Jedenfalls wenn ich die Aufgabe versuche zu lösen kommt dafür gar kein Extrems raus .. Ich hoffe ihr könnt mir helfen
1 Antwort
Hallo,
überlege, wie lang die Seiten des Rechtecks in bezug auf a sind.
Die beiden senkrechten Seiten haben jeweils die Länge a.
Die beiden waagerechten Seiten erstrecken sich von x=2 aus um jeweils
√(2/a) nach links und rechts, haben also jeder eine Länge von 2√(2/a).
Da der Umfang eines Rechtecks die Summe der beiden senkrechten und der beiden waagerechten Seiten ist, kannst Du eine Funktionsgleichung aufstellen:
f(a)=2a+4√(2/a)
Um das Minimum herauszufinden, bildest Du davon die erste Ableitung und setzt sie auf Null:
f'(a)=2-2√2*(1/√a³)
Ich erkläre Dir den letzten Schritt wohl besser:
Die Ableitung von 2a ist 2, das ist klar.
Die Ableitung von 4√(2/a) ist ein wenig komplizierter.
Die 4 ist ein Faktor, der unverändert bleibt.
Die Wurzel aus (2/a) kannst Du aufteilen in √2*√(1/a).
Auch die Wurzel aus 2 ist ein Faktor, der sich beim Ableiten nicht verändert.
Bleibt nur noch die Wurzel aus 1/a.
Die kannst Du auch als a^(-1/2) aufschreiben. Dann lautet die Ableitung davon
(-1/2)*a^(-3/2)
(-1/2) ist wieder nur ein Faktor. a^(-3/2) ist dasselbe wie 1/√(a³).
Wenn Du nun die ganzen Faktoren mit diesem letzten Term multiplizierst, bekommst Du 4*√2*(-1/2)*1/√a³=-2*√2*1/√a³.
Dazu die 2 addiert, die aus 2a entstanden ist, und fertig ist f'(a), die jetzt auf Null gesetzt werden kann:
2-2*√2/√a³=0
2=2*√2/√a³ |:2*√2
√2=1/√a³
Quadrieren:
2=1/a³
a³=1/2
a=dritte Wurzel aus 1/2=0,7937
Bei diesem Wert für a hat das gesuchte Rechteck einen minimalen Umfang.
Daß es wirklich ein Minimum und kein Maximum ist, weist Du nach, indem Du die zweite Ableitung bildest: f''(a)=3√2*1/√a^5
Hier brauchst Du den gefundenen Wert gar nicht groß einzusetzen. Da a laut Voraussetzung >0, kann f''(a) gar nicht negativ werden. Es handelt sich bei dem gefundenen Wert also tatsächlich um ein Minimum.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie sehr ausführlich und verständlichh erklärt! Danke dir dafür :)
Die Zweien auf der linken Seite kürzen sich weg:
2-2*√2/√a³=0
2=2*√2/√a³ |:2*√2
(2/2)*√2=1/√a³
√2=1/√a³
Außerdem muß es heißen 1/a^(3/2), nicht a^(-3/2)
Das Minus steckt schon in dem 1/
Jetzt verstehe ich, was Du meinst:
Ich mußte doch durch die Wurzel aus 2 teilen, habe aber multipliziert.
Korrekt muß es also heißen:
2/(2√2)=1/√a³
Dann ist 1/√2=1/√a³
a³=2
a=dritte Wurzel aus 2=1,25992105
Gut aufgepaßt.
Herzliche Grüße,
Willy
Hab nochmal eine Frage
An der Stelle wo man die 1. Ableitung null setzt, steht ja als Formel da:
2= 2 • 2^1/2 • 1/(x)^-3/2
Um x rauszubekommen rechne ich geteilt durch 2 macht 1=.... Und dann geteilt durch Wurzel 2
Also müsste nicht 1/(2)^1/2 übrig bleiben und nicht nur Wurzel zwei?
Sorry wenn ich mich irre :D