Problem bei extremwertaufgabe mit Kurvenschar?

...komplette Frage anzeigen Handelt sich um diese Aufgabe  - (Mathe, Oberstufe, Extremwertaufgaben)

1 Antwort

Hallo,

überlege, wie lang die Seiten des Rechtecks in bezug auf a sind.

Die beiden senkrechten Seiten haben jeweils die Länge a.

Die beiden waagerechten Seiten erstrecken sich von x=2 aus um jeweils

√(2/a) nach links und rechts, haben also jeder eine Länge von 2√(2/a).

Da der Umfang eines Rechtecks die Summe der beiden senkrechten und der beiden waagerechten Seiten ist, kannst Du eine Funktionsgleichung aufstellen:

f(a)=2a+4√(2/a)

Um das Minimum herauszufinden, bildest Du davon die erste Ableitung und setzt sie auf Null:

f'(a)=2-2√2*(1/√a³)

Ich erkläre Dir den letzten Schritt wohl besser:

Die Ableitung von 2a ist 2, das ist klar.

Die Ableitung von 4√(2/a) ist ein wenig komplizierter.

Die 4 ist ein Faktor, der unverändert bleibt.

Die Wurzel aus (2/a) kannst Du aufteilen in √2*√(1/a).

Auch die Wurzel aus 2 ist ein Faktor, der sich beim Ableiten nicht verändert.

Bleibt nur noch die Wurzel aus 1/a.

Die kannst Du auch als a^(-1/2) aufschreiben. Dann lautet die Ableitung davon
(-1/2)*a^(-3/2)

(-1/2) ist wieder nur ein Faktor. a^(-3/2) ist dasselbe wie 1/√(a³).

Wenn Du nun die ganzen Faktoren mit diesem letzten Term multiplizierst, bekommst Du 4*√2*(-1/2)*1/√a³=-2*√2*1/√a³.

Dazu die 2 addiert, die aus 2a entstanden ist, und fertig ist f'(a), die jetzt auf Null gesetzt werden kann:

2-2*√2/√a³=0

2=2*√2/√a³ |:2*√2

√2=1/√a³

Quadrieren:

2=1/a³

a³=1/2

a=dritte Wurzel aus 1/2=0,7937

Bei diesem Wert für a hat das gesuchte Rechteck einen minimalen Umfang.

Daß es wirklich ein Minimum und kein Maximum ist, weist Du nach, indem Du die zweite Ableitung bildest: f''(a)=3√2*1/√a^5

Hier brauchst Du den gefundenen Wert gar nicht groß einzusetzen. Da a laut Voraussetzung >0, kann f''(a) gar nicht negativ werden. Es handelt sich bei dem gefundenen Wert also tatsächlich um ein Minimum.

Herzliche Grüße,

Willy

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Spongifreak01 06.03.2016, 19:05

Wie sehr ausführlich und verständlichh erklärt! Danke dir dafür :)

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Spongifreak01 06.03.2016, 20:45

Hab nochmal eine Frage
An der Stelle wo man die 1. Ableitung null setzt, steht ja als Formel da:
2= 2 • 2^1/2 • 1/(x)^-3/2
Um x rauszubekommen rechne ich geteilt durch 2 macht 1=.... Und dann geteilt durch Wurzel 2
Also müsste nicht 1/(2)^1/2 übrig bleiben und nicht nur Wurzel zwei?
Sorry wenn ich mich irre :D

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Willy1729 06.03.2016, 21:06
@Spongifreak01

Die Zweien auf der linken Seite kürzen sich weg:

2-2*√2/√a³=0

2=2*√2/√a³ |:2*√2 

(2/2)*√2=1/√a³

√2=1/√a³

Außerdem muß es heißen 1/a^(3/2), nicht a^(-3/2)

Das Minus steckt schon in dem 1/



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Willy1729 06.03.2016, 21:21
@Willy1729

Jetzt verstehe ich, was Du meinst:

Ich mußte doch durch die Wurzel aus 2 teilen, habe aber multipliziert.

Korrekt muß es also heißen:

2/(2√2)=1/√a³

Dann ist 1/√2=1/√a³

a³=2

a=dritte Wurzel aus 2=1,25992105

Gut aufgepaßt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Spongifreak01 06.03.2016, 22:38

Ja genau das meinte ich. Danke :)

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