Hilfe bei Mathe Aufgabe :<?
Haii ich habe von meinen Mathe Aufgaben diese 3 nicht ganz verstanden könnte mir jemand dabei helfen? :< komme da überhaupt nicht weiter
danke im voraus!
4 Antworten
Bei der Betragsungleichung (3 Beträge) sind formal 8 Fallunterscheidungen erforderlich, die zusammengefasst teilweise ins Leere führen:
1) x >= 1 ∧ x >= 2 ∧ x >= 3 ⇒ x >= 3
2) x >= 1 ∧ x >= 2 ∧ x < 3 ⇒ 2 <= x < 3
3) x >= 1 ∧ x < 2 ∧ x >= 3 ⇒ { }
4) x >= 1 ∧ x < 2 ∧ x < 3 ⇒ 1 <= x < 2
5) x < 1 ∧ x >= 2 ∧ x >= 3 ⇒ { }
6) x < 1 ∧ x >= 2 ∧ x < 3 ⇒ { }
7) x < 1 ∧ x < 2 ∧ x >= 3 ⇒ { }
8) x < 1 ∧ x < 2 ∧ x < 3 ⇒ x < 1
Die Betragsgleichung ist unter diesen Bedingungen zu lösen. Vier Fälle brauchen nicht weiter untersucht werden, weil bereits die Bedingungen zum Widerspruch führen; sie haben keine Lösung. Vereinigt man die anderen vier Einzellösungen, so ergibt das als Gesamtlösung: L_ges = (2/3 ; 10/3)
Ergänzung:
Fall 1) x >= 3
x – 1 + x – 2 + x – 3 < 4
3x < 10
x < 10/3
L_1 = [3 ; 10/3)
Fall 2) 2 < x < 3
x – 1 + x – 2 – (x – 3) < 4
2x – 3 – x + 3 < 4
x < 4
L_2 = [2 ; 3)
Fall 4) 1 <= x < 2
x – 1 – (x – 2) - (x – 3) < 4
x - 1 – x + 2 - x + 3 < 4
-x < 0
x > 0
L_4 = [1 ; 2)
Fall 8) x < 1
-(x – 1) – (x – 2) – (x – 3 < 4
-x + 1 – x + 2 – x + 3 < 4
-3x < -2
x > 2/3
L_8 = (2/3 ; 1)
L_ges = L_1 ∪ L_2 ∪ L_4 ∪ L_8
L_ges = (2/3 ; 10/3)
x >= 3 umfasst auch den Fall x = 3 und ist etwas damit anderes als x > 3. Auf diesen Unterschied muss geachtet werden.
∧ ist eine UND- Verknüpfung, dass heißt hier, alle 3 Bedingungen müssen jeweils erfüllt sein. Hinter dem Pfeil steht jeweils die Schnittmenge als Bedingung, die beim Lösen der Ungleichung beachtet werden muss.
Ich habe die Lösung hinsichtlich der 4 Fälle, die weiter untersucht werden müssen, ergänzt.
Bei der dritten würde ich 4 Fälle unterscheiden, x < 1, 1 <= x < 2, 2 <= x < 3 und x >= 3. Für diese 4 Fälle kannst du die Beträge entsprechend auflösen und die Ungleichung überprüfen.
1.
Um den Grenzwert 7/4 nachzuweisen, zeigen wir, dass es wie nach der Definition ein N(ε) gibt, dass von ε abhängt, sodass für alle n ≥ N(ε) die folgende Ungleichung erfüllt ist. Das ermitteln wir nun und schon ist die Korrektheit des Grenzwerts bewiesen.
|(7 n – 2) / (4 n + 3) – 7/4| < ε
|(7 n – 2) / (4 n + 3) – 7/4| < ε
|(7 n – 2 – 7/4 (4 n + 3)) / (4 n + 3)| < ε
|(7 n – 2 – 7 n – 21/4)) / (4 n + 3)| < ε
|(–2 – 21/4)) / (4 n + 3)| < ε
|(–29 / (16 n + 12)| < ε
29 / (16 n + 12) < ε
29/ε < (16 n + 12)
(29/ε – 12) / 16 < n
Damit wäre mit
N(ε) = (32/ε – 12) / 16 = 2/ε – 3/4
ein N gefunden. Für das gilt dann
- N(0,2) = 9,25 => N = 10
- N(1/10³) = 1'999,25 => N = 2'000
- N(1/10⁶) = 1'999'999,25 => N = 2'000'000
Was genau verstehst du daran denn nicht? Das sind elementare Einstiegsaufgaben in die Analysis, du tust gut daran diese so selbstständig wie möglich zu erledigen.
Hinweise:
a) Verwende den Hauptnenner und nutze aus dass der Bruch größer 0 bleibt um den Betrag loszuwerden. Löse nun nach n auf.
b) Setze epsilon = 1/2 und zeige dass es für jedes a ein n gibt mit a_n - a > epsilon.
c) Verwende geeignete Fallunterscheidungen um die Beträge aufzulösen.
Kannst du b) einmal vorrechnen? Stehe gerade auf dem Schlauch...
Kannst du mir gerne auch privat schicken, wenn du dem FS nichts auf den Tisch legen möchtest.
Wäre sehr nett.
a wäre ein angenommener Grenzwert. Der kann aber nicht existieren, weil wenn er in der Nähe von -1 ist fällt die 1 immer raus und umgekehrt. Deshalb ja epsilon = 1/2.
Wenn |a_n - a| < 1/2, so ist wegen |a_n+1 - a_n| = 2 automatisch |a_n+1 - a| > 1/2.
Ich habe es noch mal lesbarer gemacht.
Also hast du so gerechnet?
|a_n+1 – a_n| = 2
|a_n+1 – a_n + a – a| = 2
|(a_n+1 – a) – (a_n – a)| = 2
Dreiecksungleichung
2 ≤ |a_n+1 – a| + |a_n – a|
2 < |a_n+1 – a| + 1/2
1/2 < |a_n+1 – a|
Oder wie bist du darauf gekommen? (Ehrlich gesagt kann ich deine Gedankengänge nicht nachvollziehen, ohne das selber nachzurechnen, auch wenn die Ergebnisse natürlich nicht falsch sind).
Kann man bei x>=3 auch x>3 schreiben oder wie schreibt man das auf? Und was sollen diese ^ bedeuten ?