Heii zusammen:) Ich habe eine dringende Frage: weshalb bewirkt eine Verdoppelung des Steigungswinkels nicht eine Verdoppelung der Steigung?
7 Antworten
Die Steigung hat sowieso zunächst nicht begreifliche Zusammenhänge.
Da sie durch den Tangens bestimmt wird, bedeutet eine Steigung von 100% einen Winkel von 45° (Gegenkathete und Ankathete sind gleich).
Vermutet hätte man etwas ganz anderes.
Wenn du dann mal tan 22,5° nachguckst, ist es zweifelsfrei nicht die Hälfte, also 0.5, sondern nur 0,4142 = 41,12 %.
Man kann es sich beim Einheitskreis ansehen, dann wird es deutlicher.
In der Mathematik soll man eben rechnen und nicht glauben!
Begründung:
Die Steigung (bspw. eines Straßenstücks) definiert sich aus dem Verhältnis von
"Überwundener HÖHE (h)" zu ""Entfernung des Zielpunktes in der gedachten Waagrechten (= Horizontalen; NICHT die Länge des Straßenstücks!)"
Daraus ergibt sich ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Höhe (h) als Gegenkathete und der horizontalen Entfernung als Ankathete.
Das Verhältnis Gk / Ak ist also der Tangens des Steigungswinkels.
Beispiel: wenn ich in 100m Entfernung auf einen 100m hohen Turm blicke (um genau zu sein: am Boden liegend...) sehe ich dessen Spitze unter einem Steigungswinkel von 45° (= arctan (100m/100m) also arctan (1))
Üblicherweise wird für die Steigung (v.A. im Straßenverkehr) nicht der Tan angegeben, sondern in Prozenten (%) -> "Tangens x 100%
Wie Volens ja schon angeführt hat, entspricht ein Steigungswinkel von 45° demnach einer Steigung von 100%.
Und jetzt überleg mal, welche Höhe der Turm haben mürsste, wenn der Steigungswinkel verdoppelt würde (-> 90°, also senkrecht nach oben...).
Im Übrigen gibt es zum Thema "Steigung", Steigungswinkel" etc. noch wesentlich ausführlichere Artikel im WWW....
Weil m=tan(alpha) wobei alpha der Steigungswinkel und m die Steigung ist. tan ist aber nichtlinear, das bedeutet: tan(2x) ist nicht das Gleiche wie 2*tan(x).
Gerade :
y = m * x + b
tan (2 * α) ≠ (2 * m)
Beispiel :
y = 2 * x + 1
m = 2
α = arctan(m)
α = arctan(2) ≈ 63,435 °
tan (2 * 63,435) ≠ (2 * 2)
wenn jemand diesen einfachen zusammenhang nicht versteht, wird auch diese erklärung nicht verstehen :)
weil tan(x) nicht linear mit x wächst.