Wie kann ich die Wurzel aus 34 ohne Taschenrechner berechnen?

Ich versuche mal, ein gängiges Verfahren möglichst einfach als "Kochrezept" zu formulieren.

Du bestimmst grundsätzlich zwei Zahlen, zwischen denen die gesuchte Wurzel liegt.

Beispiel: Du suchst die Wurzel aus 55.

Du bestimmst "freihändig" zwei Zahlen, von denen Du weißt, dass die eine zu klein und die andere zu groß ist, z.B. a1 = 6, b1 = 8.
6 < Wurzel(55) < 8

Nun berechnest Du die nächsten beiden Werte:
die erste Zahl ist der Mittelwert der beiden vorherigen Zahlen, die zweite ist der Qoutient aus 55 und der neuen Zahl:
a2 = (6+8)/2 = 7, b2 = 55/7 = 7,85714...
7 < Wurzel(55) < 7,85714

So machst Du immer weiter. Wie Du merken wirst, funktioniert das Verfahren sehr schnell.

Wurzel aus 34 ist gleich … der Wurzel aus 34. Berechnet IST die Zahl schon. Was du meinst, glaube ich, ist wie man diese (schon exakt bestimmte) Zahl als Dezimalzahl DARSTELLT. Dafür kämen numerische Verfahren in Frage wie etwa die Newton'sche Methode:

sei x[0] := eine einfache Approximation (wie 6) und sei für jedes n:

x[n+1] :=  x[n] — F(x[n]) / F'(x[n])

wobei F eine geeignete Funktion ist mit NSt Wurzel(34) und Ableitung im Betrag < 1 um diese NSt.
z. B. F(x) = x^2 — 34

Verfahren nach Heron: Da √34 ziemlich nahe an √36 = 6 liegt, nimmt man x₀ = 6 als Startwert. Dann ist ein besserer Näherungswert  x₁ = 0,5 (6 + 34/6) = 35/6 = 5⅚ . Dann x₂ = 0,5 (x₁ + 34/x₁) usw.

Du kannst zumindest abschätzen, dass die Wurzel zwischen 5 und 6 liegen muss. 5^2=25 und 6^2=36 - da liegt 34 dazwischen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches_Wurzelziehen

Frage: wie viele Nachkommastellen brauchst Du?????

Wenn mehr als 1000 Nachkommastellen gefragt sind, wirst Du nie fertig!