Hallo kann mir jemand sagen warum die vektoren a,b,c linear unabhängig sind, wenn das Kreuzprodukt (a x b) * c ungelich 0 ist. Müsste ein Dreizeiler sein?
6 Antworten
Ein relativ einfacher Beweis, der kein wirklicher Beweis ist, sondern das ganze geometrisch argumentiert und auch etwas einfacher ist als der Beweis von yogibaer4711 (was den Beweis vervollständigt ist im letzten Absatz angefügt). Nennen wir es eine Herleitung als einen Beweis:
Stell dir den Spat vor, der von den Vektoren a, b und c aufgespannt wird. Das Volumen ist natürlich Grundfläche mal Höhe, die Grundfläche ist das von a und b aufgestellte Parallelogramm, deren Fläche ist |a x b|, zugleich steht (a x b) von der Grundfläche ab. Die gesuchte Höhe ist natürlich c * sin(phi), wobei Phi der Winkel ist, mit dem c von der Grundfläche absteht. Da (a x b) senkrecht auf der Grundfläche steht, ist sin(phi) gleich cos(phi'), wobei phi' der Winkel zwischen c und (a x b) ist. c * cos(phi') ist aber gerade gleich ((a x b)*c/)|a x b|. Dann haben wir die Volumenformel für den aufgespannten Spat: V = |a x b|[(a x b) * c]/|a x b| = |(a x b)*c|.
Stell dir jetzt vor, dass a, b und c linear abhängig sind. Dann liegen diese drei Vektoren (im dreidimensionalen Raum) auf einer Ebene, dann ist aber das Volumen des aufgespannten Spats gleich 0 (du suchst dann das Volumen eines Rechtecks, was ja offensichtlich gleich 0 ist).
Das ganze ist kein formeller Beweis, aber eine Erklärung, warum es Sinn ergibt. Um das ganze als Beweis tragbar zu machen, muss man noch zeigen, dass nicht nur linear abhängige Vektoren ein Volumen von 0 verursachen, sondern auch die Rückrichtung, also dass das Volumen nur dann 0 ist, wenn die Vektoren linear abhängig sind. Das ganze ist aber auch nicht schwer und dir als Übung überlassen ;)
LG
Hier du lebst verkehrt, wenn du nicht kapierst, dass das ===> Spatprodukt
( a X b ) . c = det ( a | b | c ) ( 1 )
Die ===> Determinante ist nämlich das Selbe; ein Spatvolumen.
Ein Spat ist ein antroposophischer Quader.
IQ-Test; Quader verhält sich zu Rechteck wie Spat zu Parallelogramm.
Rein teoretisch müsstest du dir mal in einem AGULA Lehrbuch ( Kowalsky ; Greub ) die ===> Grassmannalgebra zu Gemüte führen.
Geh mal aus von der Einheitsdeterminante € ( i ; j ; k )
€ ( i ; j ; k ) = ( + 1 ) für ( i ; j ; k ) gerade ( 2a )
€ ( i ; j ; k ) = ( - 1 ) für ( i ; j ; k ) ungerade ( 2b )
€ ( i ; j ; k ) = 0 sonst ( 2c )
Mit diesem € schreibst du das Kreuzprodukt c
c ( k ) = a ( i ) b ( j ) € ( i ; j ; k ) ( 3 )
wobei in ( 3 ) die Einsteinsche ===> Indexkonvention benutzt wurde .
Jetzt bilde ich das Tripelprodukt mit Vektor d
c ( k ) d ( k ) = a ( i ) b ( j ) d ( k ) € ( i ; j ; k ) ( 4 )
und das ist genau die Regel, wie du die Determinante aus drei Vektoren bildest.
Deine Frage verstehe ich folgender Maßen: Warum ist eine Determinante bereits dann verschieden von Null, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind? Ich kann das nur andeuten; der exakte Beweis ist nämlich Mega schwer.
Die Grundidee; in ( 2a-c ) siehst du doch, dass wenn du die drei linear unabhängigen Richtungen x , y , z hast, die Determinante schon als Eins verabredet ist.
Eine ===> n-Form der Grassmannalgebra hat ( 3 n ) Komponenten; kennst du ===> Binominalkoeffizienten? so ist z.B. das Kreuzprodukt eine Zweiform, weil es ein Produkt aus zwei Vektoren ist. Jetzt ist aber ( 3 2 ) = 3 . Das kreuzprodukt hat drei Komponenten; und deshalb wird es immer wieder mit einem Vektor verwechselt.
Wäre icbh so wie du, so würde ich fragen: Warum ist das Kreuzprodukt aus zwei linear unabhängigen Vektoren nicht Null?
Das Prinzip hinter dieser Grassmannalgebra setzt sich nämlich fort. Stell dir mal einen Raum der dimension 4 711 vor - sofern dir das möglich ist.
Eine Determinante in diesem Raum wäre dann eine 4 711-Form, weil sie sich ja aus 4 711 Vektoren zusammen setzt. Aaaber. In einem so hohen Raum gibt es natürlich auch 100-Formen. Und das Prinzip ist durchgängig verwirklicht: Sind die 100 Vektoren abhängig, ist diese 100-Form Null. Sonst ist sie verschieden von Null.
Zurück zu unserem bescheidenen |R ³ . Die Determinante ist eine 3-Form mit ( 3 3 ) = 1 Komponenten; sie ist quasi wie eine skalare Zahl. Und diese eine Komponente, diese Zahl, ist eben ungleich Null, wenn die Vektoren unabhängig sind.
Schau dir ruhig mal die ganzen Grassmann-Beweise an; NICHTS ist da selbstverständlich. es gibt z.B. den Beweis, dass alle diese Formen antimetrisch sind unter Indexvertauschung ( das Vorzeichen wechseln; von Kreuzprodukt und Determinante kennst du das ja. )
Nein das reicht eben nicht, das zu forderrn oder zu definieren. Du musst zeigen, dass das auch noch gilt, wenn du die ===> Basis in deinem Vektorraum änderst.
Deine Frage ist sehr klug; sie lässt erkennen, dass du schon heute fragst wie ein Student. D.h. solltest du das Fach Mathe wählen, wird dich deine kritisch fragende, abwägende Zurückhaltung noch vor mancher herben Enttäuschung bewahren.
"Warum ist eine Determinante bereits dann verschieden von Null, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind?"
ja diese frage ist schwer zu beantworten. allerdings wurde danach nicht gefragt, sondern du hast datchys frage so umformuliert.
bleibst du bei der vektorenschreibweise so hast du ganz grob gesagt die aussage, dass wenn c nicht senkrecht auf dem vektor steht, der zu a und b senkrecht ist, so liegt c nicht in der ebene die von a und b aufgespannt wird. also sind a,b,c linear unabhängig
Da a͐ ⨯ b͐ = n͐ senkrecht zur Ebene E ist, die von a͐ und b͐ aufgespannt wird,
folgt aus n͐ ∙ c͐ ≠ 0 , dass c͐ nicht in E liegt, also von a͐ und b͐ lin. unabh. ist.
Aus a͐ ⨯ b͐ ≠ o͐ folgt, dass a͐ nicht kollinear zu b͐ ist (denn | a͐ ⨯ b͐ | = a b sinß),
also dass a͐ und b͐ lin. unabh. sind. (Leider 3½ Zeilen)
Logisch erklärt spannen a und b eine Ebene auf, das Kreuzprodukt gibt dir einen Vektor senkrecht dazu, das heißt mit diesem Vektor könntest du einen 3d Raum aufspannen. Liegt c in der Ebene von a und b so sind die Vektoren linear unabhänig und nur dann ist das Skalarprodukt (axb)*c null.
Brauchst du das für den Beweis genauer?
Ja klar meine ich das so ;D, sry hab mich verschrieben, sonst kann axb ja auch nicht senkrecht auf c sein, ich wollte da nur die aussage seines Satzes wiederholen :). Danke für die Korrektur!
dadan3 hat das oben schon gut ausformuliert oder brauchst du einen rechnerischen Beweis? Dazu dann erstmal die Frage in welcher Klasse du bist :)?
Super, verstanden :)
Ich brauch glaube ich aber sowas wie nen Beweis..
Mein Lehrer meinte es müsste ein dreizeiler sein ..
der vekor (a x b) steht senkrecht auf a und b nach definition. wir nennen den vektor jetzt mal d.
da c*d ungleich null ist steht c nicht senkrecht auf d. (nach definition)
würde c senkrecht auf d stehen, dann würde c in der ebene die von a und b aufgespannt ist liegen und somit wären a,b,c nicht unabhängig. da c aber nicht senkrecht zu d steht liegt c nicht in dieser ebene.
ist das verständlich? :)
"Liegt c in der Ebene von a und b so sind die Vektoren linear unabhänig" das ist falsch. denn wenn c in der ebene von a und b liegt so sind sie abhängig voneinander. du meinst es warscheinlich genau umgekehrt.