Hast du schon mal das  Wort ===> Logaritmentafel gehört? Wir hatten Deutschlehrer Dr. Hugo Meder

   " Der Hugo ist groß; der Hugo ist mächtig; ein Hugo Meder ist 1.60 m "

   Hugo brachte uns z.B. bei

   " Wie erreichte man im Mittelalter, dass ein Schiff z.B. Rhein aufwärts fuhr? Man ließ es durch Pferdegespanne am Ufer ziehen; diese Technik nannte man ===> Treideln. "

   Ich will damit nur gesagt haben: Hugo füllte unsere Köpfe an mit unnützen, längst ausgestorbenen Techniken und ihren Fachausdrücken aus dem " Gipskrieg "

   Ich selbst habe die Logtafel noch erlebt; wahrlich ich sage dir. Der größte rüpel, der sich seine Klassenbucheinträge an die Brust heftete wie das ===> Eiserne Kreuz, arbeitete begeistert mit, wenn das logaritmische Rechnen gelehrt wurde; da herrschte ein Idealismus und Fanatismus vor, wie er sonst nur bei dem Thema " freie Liebe " vorkam, d.h. jeder solle das Recht haben, jeder Zeit spontan zu schlafen, mit wem er wolle.

   Wenn du z.B. dividieren willst 47.11 / 12.34 , dann schlägst du die beiden Logaritmen nach und SUBTRAHIERST

     lg 47.11 - lg  12.34

   d.h. eine Subtraktion kannst du ja immer trivial ausführen.

   Was ist Pi ^ Pi ; kam hier schon. Du schlägst nach lg ( Pi ) Jetzt müsstest du rechnen Pi lg ( Pi )  ; in den Jahrtausenden vor Erfindung des TR ein gewagtes Unternehmen. Abermals die Logaritmen nachsehen; addieren und ZWEI MAL zurück.

  Soll ich es dir erklären? Willst du antiquarisch so eine Tafel erstehen, und wir üben gemeinsam das logaritmische Rechnen? Weil wirklich gut bist du drauf, sollte es dir gelingen, ohne Fremdeinflüsterung diese ganzen Techniken des " Wandelns " bzw. des Interpolierens nachzuentdecken.

  Hast du schon mal von der ===> Determinante gehört? Wenn nein, dann frag deinen Lehrer, was das ist .

   (  a  X  b  )  *  c  =  det  (  a  |  b  |  c  )     (  1  )

    Du hast den Kern der Sache verstanden. Nach welcher Formel berechnest du das Kreuzprodukt? Ich meine die Fläche eines Dreiecks, das von den beiden Vektoren a und b aufgespannt wird, ist doch

     F  =  1/2  a  X  b     (  2  )

     Dem Betrag nach ist das doch a b sin ( Gamma ) ; und die Fläche wird dargestellt durch ihren Normalenvektor.

    Kreuzprodukt und Determinante haben dies gemeinsam: Sie sind Null genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind.

   Du müsstest mal in einem schlauen AGULA-Buch schauen; z.B. Kowalsky oder Greub; Stichwort ===> Grassmannalgebra. In unserem dreidimensionalen Raum gibt es nur die 2-Form ( Kreuzprodukt aus zwei Vektoren ) so wie die 3-Form ( Determinante aus drei Vektoren. )

   In einem Raum der Dimension 4 711 gäbe es z.B. auch 100-Formen. Und wieder gilt das Prinzip: Die Form ist Null genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind.

   Du das ist keine Esoterik; schon mal vom ===> antropischen Prinzip gehört? Könnten sämtliche 92 elektronen des Uranatoms in der K-Schale Platz nehmen, so gäbe es uns gar nicht - es gäbe ja keine Chemie. Tja warum können sie das eigentlich nicht? ===> Pauliprinzip Das Pauliprinzip regelt, dass wenn die ===> Wellenfunktionen von n elektronen gleich ( genauer: linear abhängig sind ) dass dann der Vielteilchen-also n-Teilchenzustand Null wird.

   Die Konfigurationen für n elektronen sind nämlich genau solche Determinanten.

  Mein Daddy hatte eine Ein-Mann-Klitsche; die " Arbeitsgemeinschaft für Wissenschaft und Technik " Nein keine Software - das gab's damals noch nicht. Er baute Gefriertrocknungsanlagen für Impfstoffe.

   Wir hatten unsere private Familienmytologie; und dazu gehörte nicht nur unser Nachbar Fritz Rossner, der schon 1928 aus der DDR geflohen war ...

   Hast du einen Plan, wie der Dialekt von Weimar klingt? Wahrlich ich sage dir; Sächsisch ist Hochdeutsch dagegen. Und wenn Rossner nieste, dann nieste er nicht Hatschi, sondern " Peia " - was dann selbst redend sein erster Spitzname wurde.

   Sehr schnell war ich Elite; schon als Vorschulkind rechnete ich mit Potenzen.  10  ^  6  ist eine Eins mit sechs Nullen.

   Daddy hatte hohe Gewinnspannen; die Vakuumeter kaufte er billig, schraubte das Markenschild ab, montierte seins drauf und berechnete den zehnfachen Preis. Auchin Kabul stand eine Anlage; unbekannt ist allerdings, ob diese den sowjetischen Einmarsch bzw. die Taliban überlebte.

    Ich war 6 ; da wurde ich durch ein SF Fernsehspiel des NWDR ins kalte Wasser geschmissen. Gestern noch Grimms Märchen; gestern noch an Engel geglaubt. Und jetzt auf einmal Marsmenschen in fliegenden Untertassen  ...

   Und über die Astronomie wurde ich zum Chemiewunderkind; so Kl. 3 werde ich gewesen sein. Letzten Endes mit dem Wissen von Kl. 10 .

   Und da nun wirkte sich das soziale Umfeld günstig aus; Frau R. die Frau des galvanischen Vernicklers, hatte uns schon als Kinder immer ins Herz geschlossen. Galvanische Prozesse - die Gesetze von Faraday - auf einmal füllte sich das alles mit Sinn.

   Oder zum Trocknen seiner Impfchargen hatte Daddy immer " Phosphorpentoxyd " bestellt; so ein weißes Zeug. Aha denk ich; das ist ja P2O5 .

   Ja und eines Tages schenkte er mir den ===> Leo Graetz, ein antiquarisches Physikbuch aus dem gipskrieg von 1916 . Graetz der Erfinder des ===> Doppelweg-Gleichrichters, der nicht nur die Bürgersteige hoch klappt, sondern auch die negative Halbwelle.

  Geheimnis volle Abbildungen waren da drinne wie die ===> Influenzmaschine oder die Leidener Flasche.

   Übrigens; bei ===> R.W. Pohl fand ich folgenden Versuch: Du verbindest die Polkugeln von zwei Influenzmaschinen über Kabel. Wenn du an der einen Kurbel drehst, läuf t die andere als Motor mit ...

   Dieses Buch war so dick; das konntest du gar nicht an einem Tag lesen. Die glaubten damals noch an den ===> Lichäther.

   Ja und eines Tages stieß ich auf das Kapitel mit der Gefriertrocknung; und da meinte ich zu Daddy, der gerade Geschäftspost erledigte

   " Jetzt weiß ich, womit du morgens die brötchen verdienst und nachmittags die Woscht uff die Brötche ... "

   Ich hielt ihm einen Nase weisen Vortrag über Gefriertrocknung.

   wort los bedeutete er mir, ihm in den Werkraum im Keller zu folgen. In die Vakuumkammer seiner Anlage stellte er ein Becherglas; so ein halber Liter Wasser wird das schon gewersen sein. Die Kammer zylindrisch; die hinterlassenen Pläne müsstest du mal erforschen. Ich schätze 1 m Durchmesser und 1 m Höhe.

   Die Pumpe wurde angeschaltet; durch das Bullauge konnte ich das Spektakel verfolgen.

   Plötzlich fängt das Wasser an zu brodeln und zu kochen; etwa 5 sec später legt sich auf die Oberfläche eine 1 mm dicke Eisschicht, in welche die ganzen Dampfblasen fossil eingefroren sind.

   Ein unvergessliches Erlebnis.

Bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos hat mir User " Geejay " die ===> Lambertsche W-Funktion beigebracht.

 500 * 1.05 ^ x = ( E4 ) + 500 x | : 500 ( 1a )

 1.05 ^ x = x + 20 | : 1.05 ^ ( - x ) ( 1b )

Genau wie bei der quadratischen Ergänzung ( die du natürlich perfekt beherrschst ) versuchst du links ein " vollständiges W " zusammen zu bekommen; das ist auch weiter gar nicht tragisch. Das Internet ist voll mit W Übungsaufgaben.

exp [ - x ln ( 1.05 ) ] ( x + 20 ) = 1 | * - ln ( 1.05 ) ( 2a )

- exp [ - x ln ( 1.05 ) ] ln ( 1.05 ) ( x + 20 ) = - ln ( 1.05 ) | : 1.05 ^ 20 ( 2b )

In ( 2a ) haben wir den logaritmischen Faktor vor die ( lineare ) Klammer geholt; wir " gleichen an " Jetzt gilt es umgekehrt, die 20 aus der Klammer in die e-Funktion zu praktizieren.

- exp [ - ( x + 20 ) ln ( 1.05 ) ] ( x + 20 ) ln ( 1.05 ) = - ln ( 1.05 ) / 1.05 ^ 20 | W ( 3a )

Jetzt ist zu bedenken: Das Argument der W-Funktion ist negativ; da gibt es dann zwei Lösungen W1;2 analog Plus/Minus wurzel. Das Argument der W-Funktion ist vernachlässigbar klein, so dass in guter Näherung W2 = 0 . Das gibt dann den negativen Schnittpunkt, der uns hier nicht intressiert, der aber laut Plot da sein muss. In guter Näheerung ist x2 = ( - 20 )

    tut mir Leid; aber ich kann Wolfram leider nicht bewegen, den W1-Wert auszuspucken.

 Ich nenne nur die komplexe Wechselstromrechnung; die Impedanz eines Lautsprechers ist komplex .

   Den Laser kannst du nur mittels QM verstehen; aber die QM arbeitet im komplexen ===> Hilbertraum.

  Hier du lebst verkehrt, wenn du nicht kapierst, dass das ===> Spatprodukt

    ( a  X  b  )  .  c  =  det (  a | b | c )     (  1  )

     Die ===> Determinante ist nämlich das Selbe; ein Spatvolumen.

     Ein Spat ist ein antroposophischer Quader.

    IQ-Test; Quader verhält sich zu Rechteck wie Spat zu Parallelogramm.

   Rein teoretisch müsstest du dir mal in einem AGULA Lehrbuch ( Kowalsky ; Greub ) die ===> Grassmannalgebra zu Gemüte führen.

    Geh mal aus von der Einheitsdeterminante €  (  i  ;  j  ;  k  )

       €  (  i  ;  j  ;  k  )  =  (  +  1  )  für  (  i  ;  j  ;  k  )   gerade   (  2a  ) 

       €  (  i  ;  j  ;  k  )  =  (  -  1  )  für  (  i  ;  j  ;  k  )   ungerade   (  2b  ) 

       €  (  i  ;  j  ;  k  )  =  0   sonst   (  2c  )

      Mit diesem €  schreibst du das Kreuzprodukt c

      c  (  k  )  =  a  (  i  )  b  (  j  )  €  (  i  ;  j  ;  k  )       (  3  )

     wobei in  ( 3 ) die Einsteinsche ===> Indexkonvention benutzt wurde .  

    Jetzt bilde ich das Tripelprodukt mit Vektor d

       c  (  k  )  d  (  k  )  =   a  (  i  )  b  (  j  )  d  (  k  )  €  (  i  ;  j  ;  k  )    (  4  )

   und das ist genau die Regel, wie du die Determinante aus drei Vektoren bildest.

   Deine Frage verstehe ich folgender Maßen: Warum ist eine Determinante bereits dann verschieden von Null, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind? Ich kann das nur andeuten; der exakte Beweis ist nämlich Mega schwer.

   Die Grundidee; in ( 2a-c ) siehst du doch, dass wenn du die drei linear unabhängigen Richtungen x , y , z hast, die Determinante schon als Eins verabredet ist.

   Eine ===> n-Form der Grassmannalgebra  hat  ( 3 n )  Komponenten; kennst du ===> Binominalkoeffizienten? so ist z.B. das Kreuzprodukt eine Zweiform, weil es ein Produkt aus zwei Vektoren ist. Jetzt ist aber  ( 3 2 ) = 3 . Das kreuzprodukt hat drei Komponenten; und deshalb wird es immer wieder mit einem Vektor verwechselt.

   Wäre icbh so wie du, so würde ich fragen: Warum ist das Kreuzprodukt aus zwei linear unabhängigen Vektoren nicht Null?

   Das Prinzip hinter dieser Grassmannalgebra setzt sich nämlich fort. Stell dir mal einen Raum der dimension 4 711 vor - sofern dir das möglich ist.

    Eine Determinante in diesem Raum wäre dann eine 4 711-Form, weil sie sich ja aus 4 711 Vektoren zusammen setzt. Aaaber. In einem so hohen Raum gibt es natürlich auch 100-Formen. Und das Prinzip ist durchgängig verwirklicht: Sind die 100 Vektoren abhängig, ist diese 100-Form Null. Sonst ist sie verschieden von Null.

   Zurück zu unserem bescheidenen |R ³ . Die Determinante ist eine 3-Form mit ( 3 3 ) = 1 Komponenten; sie ist quasi wie eine skalare Zahl. Und diese eine Komponente, diese Zahl, ist eben ungleich Null, wenn die Vektoren unabhängig sind.

   Schau dir ruhig mal die ganzen Grassmann-Beweise an; NICHTS ist da selbstverständlich. es gibt z.B. den Beweis, dass alle diese Formen antimetrisch sind unter Indexvertauschung ( das Vorzeichen wechseln; von Kreuzprodukt und Determinante kennst du das ja. )

   Nein das reicht eben nicht, das zu forderrn oder zu definieren. Du musst zeigen, dass das auch noch gilt, wenn du die ===> Basis in deinem Vektorraum änderst.

   Deine Frage ist sehr klug; sie lässt erkennen, dass du schon heute fragst wie ein Student. D.h. solltest du das Fach Mathe wählen, wird dich deine kritisch fragende, abwägende Zurückhaltung noch vor mancher herben Enttäuschung bewahren.