Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt zweier linear abhängiger Vektoren gleich null?
Hallo,
kann mir jemand mehr oder weniger ausführlich erklären, warum das Kreuz- bzw. Vektorprodukt zweier linear abhängiger Vektoren = 0 ist?
Danke.
2 Antworten
Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, dann bedeutet das, dass sich der eine ein Vielfaches des anderen ist. Dass aber heißt, dass beide Vektoren dieselbe Richtung haben. Und das wiederum bedeutet, dass das durch sie aufgespannte "Parallelogramm" den Flächeninhalt 0 hat. Der Betrag des Kreuzproduktes ist aber gleich diesem Flächeninhalt - deshalb ist er für zwei linear abhängige Vektoren gleich Null.
Nein, ist es nicht, der Ergebnisverktor steht senkrecht auf den beiden (linear Abhängigen) Ausgangsvektoren.
Lin. Unabh. heißt ja nur, dass man den einen Vektor nicht durch ein Vielfaches des Anderen ausdrücken kann.
VEKTOR X != Landa * VEKTOR Y
Grüße :)
der Ergebnisverktor steht senkrecht auf den beiden (linear Abhängigen) Ausgangsvektoren
Das ist richtig, aber sein Betrag gibt die Fläche des durch die beiden Vektoren, dessen Kreuzprodukt er ist, aufgespannten Parallelogramms an. Wenn diese beiden Vektoren aber linear abhängig sind, dann haben sie dieselbe Richtung und spannen somit ein entartetes Parallelogramm mit dem Flächeninhalt Null auf. Deshalb ist dann auch ihr Kreuzprodukt gleich Null.