Halbwertszeit Formel umstellen?

9 Antworten

@jennymetal1999
Welchen Logarithmus meinst Du mit »lg«?

Es gibt im Prinzip unendlich viele Logarithmen zu jeweils der Basis a ∈ ℝ, die ich mal als log[a](y) bezeichne, wobei

(1.1) y = a^{x} ⇔ x = log[a](y)

ist. Dabei gelten die Potenzgesetze

(1.2) a^{x₁}·a^{x₂} = a^{x₁ + x₂},

(1.3) a^{x₁}/a^{x₂} = a^{x₁ – x₂},

und

(1.4) (a^{x})^{k} = a^{k·x}

Als Basen gebräuchlich sind (s. Taschenrechner) vor allem 10 und

(2.1) e = ∑[n=0]^{∞} 1/n! ≈ 2,718281828…

(die Zahl sieht periodisch aus, ist aber irrational). Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln(x) bezeichnet, weil

(2.2) e^{x} = ∑[n=0]^{∞} xⁿ/n!

als einzige Funktion wirklich ihre eigene Ableitung ist, wie man an (2.2) schon sieht.

Der Witz ist, dass man die ganzen »unnatürlichen« Logarithmen eigentlich gar nicht braucht, denn aus (1.4) folgt

(3.1) y = a^{x} = e^{x·ln(a)} ⇔ log[a](y) = ln(y)/ln(a).

Daher lässt sich jede Exponentialfunktion als e-Funktion ausdrücken, nämlich durch

(3.2) a^{x} = e^{x·ln(a)} = e^{–x·ln(1/a)},

sodass sich Deine Gleichung auch als

(4.1) N(t) = N(0)·e^{–(t/t[h])·ln(2)}

schreiben lässt (dabei wird ln(2)/t[h]=:λ auch die Zerfallskonstante genannt, und 1/λ, nicht t[h], ist die durchschnittliche Lebensdauer des Nuklids (Nuklid = Atomkern-Sorte), aber das nur am Rande).

Daraus folgt wiederum

(4.2) ln(N(t)/N(0)) = – (t/t[h])·ln(2),

und Du musst nur noch beide Seiten mit t[h] multiplizieren und durch ln(N(t)/N(0)) teilen, um nach t[h] aufzulösen, also

(4.3) t[h] = t·ln(2)/ln(N(0)/N(t)),

wobei ich das Logarithmengesetz

–ln(y) = ln(1/y)

ausgenutzt habe.

Diese Berechnung von t[h] setzt voraus, dass man eine gewisse Zeit-Menge N(t) eines Nuklids hat und die Ausgangsmenge N(0) kennt. Oft kennt man jedoch die Menge N und die Aktivität A, dann kann man t[h] aus der Differentialgleichung

(5.1) A = –Ṅ = λN = ln(2)/t[h]·N(

berechnen, wobei

(5.2) t[h] = ln(2)·N/A

herauskommt.

Also du hast die Gleichung:

N(t) = N(0)*0.5^(t/T)   mit der Halbwertszeit T

gegeben. Nun sei die Halbwertszeit bei bekanntem t, N(t) und N(0) gesucht.


N(t) = N(0)*0.5^(t/T)   II *1/N(0)

N(t)/N(0) = 0.5^(t/T)   II ln(...)

ln( N(t)/N(0) ) = ln(0.5)*t/T  II *1/ln(0.5)

ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) = t/T  II *T

T*[ ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) ] = t   II *1/[ ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) ]

T = t/[ ln(N(t)/N(0))/ln(0.5) ]

T = t*ln(0.5)/ln(N(t)/N(0))  II ln(0.5) = -ln(2)

T = -t*ln(2)/ln(N(t)/N(0))   II ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

T = -t*ln(2)/(ln(N(t)) - ln(N(0))

Damit haben wir nun also unsere gesuchte Halbwertszeit T gefunden, mit:

T = (-t)*ln(2)/(ln(N(t)) - ln(N(0)))

Hier noch eine Seite zu den Rechenregeln mit dem Logarithmus:

http://www.formelsammlung-mathe.de/logarithmus.html

Nicht von dem Minuszeichen beirren lassen, da N(t) < N(0) ist für t > 0, ist ln(N(t)) - ln(N(0)) < 0 und damit hast du dann anschließend eine negative Zahl im Nenner und Zähler stehen und somit erhälst du insgesamt eine positive Zahl:

(-a)/(-b) = (-1)*a/((-1)*b) = a/b

Für den Fall, dass t < 0 gilt, folgt ln(N(t)) > ln(N(0)) und damit ist der Nenner positiv ! Aber beachte, dass -t > 0 gilt, falls t negativ ist:

-(-|t|) = |t| > 0  mit dem Betrag | . |

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Korrigieren ist mühsam. Ich rechne neu, um Ergebnis zu bestätigen.                 

                   N(t) = No * (1/2)^(t/th)        | Seiten vertauschen

No * (1/2)^(t/th) = N(t)                           | /No
        (1/2)^(t/th) = N(t) / No                   | log      (egal, welcher)
  log (1/2)^(t/th) = log (N(t) / No)           | Logarithmengesetze 3 und 2
(t/th) * log (1/2) = log (N(t)) - log (No)   | log (1/2)

t/th  = (log (N(t)) - log (No)) /  log (1/2)                    | Kehrwert
th/t  = 1 / ( (log (N(t)) - log (No)) /  log (1/2) )           | *t

  th  = t /  (log (N(t)) - log (No)) /  (log (1/2) )
  th  = (t * log (1/2))  /  (log (N(t)) - log (No))



Die Theorie:

http://dieter-online.de.tl/Logarithmus.htm


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