Graph und Intervalle?
Hallo, ich verstehe leider nicht wie ich die
Aufgabe lösen kann. Danke für eure Hilfe ;)
6 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst.
Kapitel,Differentialgeometrie,Krümmung
k=y´´/(1+(y´)²)^(3/2)
k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben gesehen)
k>0 konkav (Linkskrümmumg,von oben gesehen)
Beispiel: f(x)=0,5*x² abgeleitet f´(x)=1*x und f´´(x)=1
eingesetzt K=1/(1+(1*x)²)^(3/2)=1/Wurzel((1+x²)³
wegen x² nur positive Werte → x=-2 → (-2)²=4
also ist immer k>0 → konkav (Linkskrümmung)
Hinweis:Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen,konkav und konvex.
a) Wendepunkt bei xw1=-2 augenscheinlich → konvex gekrümmt (Rechtskrümmung,von oben gesehen)
Wendepunkt xw2=1 zwischen x=-2 und x=1 konkav gekrümmt (Linkskrümmung,von oben gesehen)
Wendepunkt xw3=4 zwischen x=1 und x=4 konvex gekrümmt (Rechtskrümmung)
x>4 wieder konkav
1) Schritt: die Wendepunkte bestimmen
2) Schritt: die Krümmung mit f(x)=0,5*x² ist konkav vergleichen
Das Krümmungsverhalten ändert sich immer an den Wendepunkten.
Bei a) ist der Graph von links aus gesehen erst einmal Rechtsgekrümmt. Sollte eigentlich selbsterklärend sein, wieso. Stell dir vor, du fährst auf dem Graphen. Um ihm zu folgen, musst du ja nach rechts. Das ändert sich dann am Wendepunkt, welcher zwischen Hoch- und Tiefpunkt, also bei x=-1,5 liegen wird. Dort wechselt die Rechtskrümmung auf die Linkskrümmung, bis der nächste Wendepunkt kommt (bei x=1 und so weiter und so fort...
Stell Dir vor, Du sitzt auf oder in einem Fahrzeug und fährst jeweils die rote Linie entlang. Dort, wo Du nach rechts lenken musst, hast eine Rechtskrümmung, wo nach links lenken musst, eine Linkskrümmung.
Jetzt schaust, bei welcher Zahl auf der x-Achse die Krümmung in eine Richtung beginnt und bei welcher sie endet, bevor in die andere Richtung lenkst oder die Linie endet.
Nachtrag:
Alternativ nimmst ein Lineal und schiebst es längs der roten Linie, dass es diese jeweils gerade so noch berührt. An der Stelle, wo die Linie in Schubrichtung rechts vom Lineal verläuft, hast eine Rechtskrümmung, andernfalls eine Linkskrümmung.
Wo die Linie zuerst rechts, dann links verläuft, oder umgekehrt, hast einen Wechsel, einen so genannten Wendepunkt.
Kennzeichne die Wendepunkte der Funktionsgraphen, weil sich an diesen Stellen das Krümmungsverhalten ändert. Siehe hierzu das Video:
Mathematisch exakt ist dieses
die zweite Ableitung kann man aber sich hier schlecht vorstellen
Darum achtet man auf Wendepunkte : Bei a) sind es drei :
bei ca -2 , +0.5 und 4
von links außen bis -2 ist die Kurve rechtsgekrümmt , bei jedem WP ändert sie ihre Kürmmungsrichtung .
