Gradient vom Potential V(r)= (a*r)/ |r| a konstant?

F(r)= - grad(V(r)) Was genau kommt als Kraftfeld heraus?
wenn man zb nach x ableitet mit der produktregel und a(x,y) * (x^2 + y^2)^-1/2 =

a(x,y) * -1/2 (x^2 + y^2) ^ (-3/2)* 2x + a(x^2+ y^2) ^-1/2. (mit minus wegen Konvention)

oder weil man den Vektor ja normieren muss bezieht sich der Nabla Operator nur auf den Zähler also:

= a* (x^2 + y^2)^-1/2

oder was komplett anderes?

vielen Dank für die Hilfe :)

Answer 1

[DrNumerus]

Der Gradient eines normierten Vektors ist wegen dem Nabla Operator tatsächlich einfach nur ein Skalar, welcher sich als Linearkombination aus den Komponenten des Vektors in Kombination mit den Ableitungen nach dieser Komponente ergibt (ich nehme hier mal r ist 2D, d.h. z=0), also

$\text{grad}\left(\frac{r}{|r|}\right) = \frac{\partial }{\partial x}\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{\partial }{\partial y}\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Hier heißt das, du musst tatsächlich mit der Produktregel ableiten. Beispielsweise wäre der erste Term

$\frac{\partial }{\partial x}\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}^3}$

Wenn a eine Konstante ist, kannst du ihn natürlich einfach als Faktor vor allem stehen lassen. Falls er auch von x, y abhängt, musst du ihn ebenfalls mit Produktregel mitableiten.

Comments

[YBCO123]

Hier ja V(r) kein Vektor, sondern ein Skalar. Es soll somit der Gradient eines Skalars berechnet werden. V(r)= (a*r)/ |r| kann dann kein vektor sein. Wenn r ein Vektor sein soll, muss a ebenfalls ein Vektor sein und * ist das innere Produkt.

Unklar formuliert...

[DrNumerus]

@YBCO123

Oh stimmt, natürlich. Hätte ich bei “gradient” wohl auch merken sollen. Ich habe eigentlich die Divergenz gezeigt… danke!

aber vielleicht hat es wenigstens die Frage zur Handhabung von Produktregeln geklärt. Funktioniert dann sehr ähnlich!

Answer 2

[YBCO123]

Was soll r sein. Der Radius in Kugelkoordinaten? Der kann ja nicht negativ werden, also was ist |r| und was ist r/|r|.

Soll das eine Fangfrage sein oder hast du falsch abgeschrieben?

meinst du etwa

$V\left(\vec{r}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{r}}{\left|\vec{r}\right|}$

Dann hättest du das aber auch so hinschreiben sollen, da du mit r einen Skalar suggerierst.