Arbeit berechnen (Arbeitsintegral)?
Hallo,
ich hänge gerade an dieser Aufgabe:
"Welche Arbeit wird von den Kraftfeldern (K_1, K_2) bei einem Umlauf um das Einheitsquadrat verrichtet?"
Ich blicke bei dem Thema noch nicht so ganz durch, also urteilt nicht zu hart!
In der a) habe ich berechnet, dass K_1 nicht konservativ und K_2 konservativ ist.
Für K_2 habe ich dann auch das skalare Potential berechnet (K_1 hat ja kein skalares Potential, da es nicht konservativ ist, oder?)
Nun soll ich also die Arbeit berechnen. Dazu muss ich das Arbeitsintegral bilden.
Für K_2 war mein Ansatz:
wobei ich irgendwie den Weg als Vektor r(t) angeben wollte, um dann zu berechnen:
allerdings weiß ich nicht, ob der Ansatz richtig ist und was dann r(t) und die Grenzen des Integrals wären (von 0 bis 0?).
Bei K_1 hätte ich das auch so versucht, bin mir aber unsicher, ob es da nicht einen Unterschied gibt, weil K_1 ja wegabhängig ist, weil es nicht konservativ ist.
Vielleicht ist mein Gedankengang auch völlig daneben.
Hilfe wäre schön, Danke im Voraus und LG!
1 Antwort
Du musst den Rand des Quadrates erst parametrisieren. Das kannst du für jede Seite machen und dann integrieren. Eine Parametrisierung für einen Umlauf im Uhrzeigersinn wäre zB:
hier soll t jeweils im Intervall [-1,1] liegen. r_1 beginnt dann oben rechts und läuft nach unten, von da geht r_2 weiter bis in die Ecke links unten, dann folgt r_3 nach oben und dann geht r_4 wieder zum Startpunkt. Jetzt kannst du mit dieser Parametrisierung das Feld über den Rand integrieren, das geht per Definition des Wegintegrals so:
Dabei ist r'_i die jeweilige Ableitung von r_i nach t, ist also die Geschwindigkeit der Parametrisierung und der Punkt bezeichnet das Skalarprodukt. Du integrierst daher den Anteil des Kraftfeldes, welcher parallel zum Weg steht (wenn ich mich senkrecht zur Kraft bewege leiste ich also keine Arbeit).
K_2 ist ein konservatives Feld, daher hängt ein Integral über einen Weg nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Hier sind Anfangs- und Endpunkt des Weges exakt gleich und somit ist die geleistete Arbeit genau null. Bei K_1 muss das nicht sein, denn es ist nicht konservativ.
Hi,
- ja stimmt du hast Recht mein Quadrat war zu groß, ersetze überall 1 durch 1/2 und -1 durch -1/2 (in den Grenzen für t und in den festgehaltenen Koordinaten), dann sollte es passen. Hatte fälschlicherweise gedacht, dass das Einheitsquadrat das am Einheitskreis anliegende Quadrat ist, aber eigentlich soll es Seitenlänge 1 haben.
- Genau, bei K_1 ist das Integral 0, weil es konservativ ist. Das gilt aber nur, falls das Feld auf der gesamten Fläche des Quadrates definiert ist. Ich will jetzt nicht zu kompliziert werden, aber es geht dabei um Homotopie. Zwei Weg, die Punkt A und punkt B verbinden sind zueinander homotop, wenn sie sich stetig ineinander verformen lassen und zwar so, das man Start und Endpunkt bei der Verformung festhält. Bei konservativen Feldern ist das Integral über homotope Wege gleich. Das heißt, wenn das Feld auf der gesamten Fläche des Quadrates wohldefiniert ist, dann können wir die geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammenziehen (Anfangs- und Endpunkt sind ja gleich) und das Integral über einen einzelnen Punkt ist 0.
Das Vorgehen ist bei beiden Feldern gleich
Hi, danke für die Antwort! (Tut mir leid, dass ich erst jetzt antworte, ich habe die Antwort nicht gesehen)
Ich hätte noch zwei Fragen:
1.) Ich verstehe die Parametrisierung nicht ganz. Also die Idee ist ja, dass ich alle 4 Seiten einzeln parametrisiere und dann auch 4 Integrale über 4 Seiten bilde, richtig? Aber ist das parametrisierte Quadrat nicht zu groß, wenn man es so parametrisiert? Also z.B. für r_1(t) halte ich ja meine x-Koordinate bei 1 fest und lasse y von 1 bis -1 laufen, da t in [1,-1] liegt. damit wäre ja schon diese Seite 2 Einheiten lang, oder?
2.) Habe ich das richtig verstanden, dass bei K_1 dann am Ende 0 herauskommen müsste, da insgesamt keine Arbeit verrichtet wird, weil diese bei einem konservativen Feld nicht vom Weg, sondern von Anfangs- und Endpunkt abhängt und diese hier gleich sind? Aber das Vorgehen für K_1 und K_2 ist genau das gleiche, mit der gleichen Parametrisierung, richtig?
Danke und LG