Gibt es die Zahl 1 hoch 2?

Man kann meines wissens jede zahl mit jeder potenzieren. Es gibt da keine einschränkungen.

bei der Zahl 1 kann man in jedem Fall sagen: 1 hoch x gibt immer 1

Nein!
1² ist keine Zahl sondern ein Term!

1^2 = 1*1

(1 hoch 2 ist das selbe wie 1 mal 1)

und 1 mal 1 ist immernoch 1.

also ja!

1 hoch 2 ist 1.

Ja, gibt es. Diese Schreibweise kann man sich aber sparen, da 1 ^1 nichts anderes als 1 x 1 heißt, was widerrum 1 ist.