Gehört der Graph zu einer umkehrbaren Funktion ?

Das sind sie - (Mathe, Mathematik)

7 Antworten

Zur Funktionsdefinition siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Relation_%28Mathematik%29#Relationen_und_Funktionen

Linkstotal kann man die Umkehrrelation durch Einschränkung des linken Bereichs (Definitionsbereich im Fall einer Funktion) erreichen, das ist also kein Problem.

Bleibt noch die Rechtseindeutigkeit. Im Fall der Umkehrrelation, wo y links und x rechts steht, heißt das, dass zu einem y-Wert maximal ein x-Wert gehören darf. Geometrisch ausgedrückt: jede Parallele zur x-Achse darf den Graphen der Funktion/Relation höchstens einmal schneiden/berühren.

Damit sollte sich die Frage für jeden der 4 Graphen leicht beantworten lassen.

Betrachten wir diese 2 Sätze:

1. Funktionen sind umkehrbar, wenn sie für den gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsen oder streng monoton fallend sind. Sollte dieses Kriterium nur für Intervalle des Definitionsbereichs erfüllt sein, so ist die Funktion nur für diese Intervalle umkehrbar. 

2. Anschaulich erkennt man die Umkehrbarkeit einer Funktion f daran, dass jede Parallele zur x-Achse den Graph von f höchstens einmal schneidet.

Laut Satz 1(Teil I.), ist nur der erste Graph, der Graph einer umkehrbaren Funktion. 

Laut Satz 2, wäre aber auch der 4. Graph, der Graph einer umkehrbaren Funktion und lesen wir genau den 2. Teil des ersten Satzes, so bemerken wir daß auf den einzelnen Intervallen (0;1] sowie auch (1;3) bzw. [3; +∞), der letzte Graph, die Bedingungen erfüllt. Man müsste also diese beiden Funktionen als umkehrbar bezeichnen. 

Das wäre also meiner Meinung nach, die korrekte Lösung!

 LG,

Heni

Ein Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass zu jedem x aus den Def.bereich nur ein y-Wert gehört.

Umkehrbar wäre eine Funktion demnach dann, wenn auch umgekehrt gilt, dass zu jedem y-Wert nur ein x-Wert existiert. oder du kannst auch sagen: wenn jedes y nur einmal als Funktionswert auftritt.

Anschaulich kannst du das an den Zeichnungen so erkennen: Jede Parallele zur y-Achse daf den Funktionsgraphen höchstens einmal schneiden. Dies ist beim ersten und vierten Graphen der Fall. Die entsprechenden Funktionen sind also umkehrbar. Dagegen finden sich beim zweiten und dritten Graphen Parallelen, die den Graphen mehrmals schneiden -> nicht umkehrbar.


Jede Parallele zur y-Achse daf

Unsinn - muss natürlich heißen: "Jede Parallele zur x-Achse darf .."

Die Parallelen zur x-Achse waren gemeint, sorry für den Tippfehler.


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