Ganzrationale Funktion Hilfe ?
Aufgabe 1
Von einer Funktion sind einige Eigenschaften, nicht aber der Funktionsterm bekannt. Bestimmen Sie für jede der beschriebenen Funktionen einen Funktionsterm.
a) Eine Funktion dritten Grades hat eine einfache Nullstelle bei x= -1 und eine doppelte Nullstelle bei x=-3. Ihr Funktionsgraph schneidet die y-Achse bei (0/3)
b) Eine Funktion vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, hat Nullstellen bei x=2 und x=-4. Außerdem gilt: f(0)=-8
meine Ansätze :
a) f(x)=x(x+1)(x+3)^2+3
–> versteh nicht wie eine negative Zahl (-3) doppel Nullstellen besitzen kann, und wie sieht der Graph dann aus ?
b) g(x)=x^3(x-2)(x+4)-8
ich hab das mit meinem Vater gemacht, leider versteh ich nicht wie man drauf kommt so einen Ansatz zu machen und wie „das Absoluteglied“ entsteht
MFG YunitHD
7 Antworten
dritten Grades ?
ax3 +bx2 +cx + d ::::::::::::vier Parameter >>>> vier Glg!
1.Glg mit (0/3)
2.Glg mit (-1/0)
3.Glg mit (-3/0)
und jetzt der Hammer : Weil bei x = -3 eine dopp NSt ist , liegt da eine Extremum , ein Berührpunkt vor: Drum:
4.Glg : f'(-3) = 0, , , , also mit f'(x)
3ax2 + 2bx + c , , , , gilt
0 = 27a - 6b + c
der Graph ? nicht gerade deutlich aber es geht :
man muss es eher glauben , aber bei +3 und -3 sind jeweils Berührpunkte.
a) f(x)=x(x+1)(x+3)^2+3
Das ist eine Funktion 4. Grades und hat NICHT die Nullstellen da, wo sie angegeben sind - duchrch das "+3" am Ende machst du das zunichte.
Also: Nullstelle bei -1: (x+1) -> setzt man hier für x = -1 ein, wird die Klammer 0
Nullstelle bei -3 (zwei mal) : (x+3)*(x+3) = (x+3)²
Gesamt: f(x)=(x+1)*(x+3)²
diese Funktion erfüllt schon mal die Nullstellen.
Wo schneidet diese Funktion die y-Achse? x=0 einsetzen ergibt:
f(0) =(0+1)*(0+3)² = 1*3²=9
Gefragt ist aber, f(0) = 3.
Deswegen multiplizieren wir das noch mit 1/3:
f(x) = 1/3 * (x+1)*(x+3)²
Durch die Multipliktion werden die Nullstellen nicht verändert (1/3 * 0 bleibt 0), aber die ganze Funktion gestaucht.
verständlich?
Wenn gilt: f(0) = 3 → dann ist das konstante Glied auf jeen Fall 3! Deine Lösung ist daher falsch!
ad a)
Gleichung 3. Grades heißt:
f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d → du brauchst 4 Gleichungen
f'(x) = 3ax²+2bx+c
I: f(-1) = 0 → 0 = -a + b -c +d
II: f(-3) = 0 → 0 = -27a + 9b -3c
III: f'(-3) =0 → 0 = 27a - 6b +c; doppelte Nullstelle ist immer Extremwert!
IV: f(0) = 3 → 3 = d
Gleichungssystem lösen!
ad b) Achsensymmetrische Funktionen mit geradem Grad haben ausschließlich gerade Hochzahlen!
Die Funktion sieht allegemein also so aus: f(x) = a·x⁴ + b·x² + c
Der Rest wie oben: u brauchst 3 Gleichungen: 2 Nullstellen und der Schnittpunkt mit der y-Achse (d.h.: c = -8)
PS: Grüße an deinen Papa - er muß das wiederholen :-)
Da hier von dritten und 4. Grades gesprochen wird, wissen wir dass es um Polynome geht und nichts Anderes (sin(x) oder e^x sind schließlich auch Funktionen:-))
allgemein ne Funktion k-ten grads ansetzen, deren ableitungen bestimmen (bis 2. reicht üblicherweise) und die eigenschaften nutzen .
Wenn der Lehrer einfache, doppelte, dreifache Nst. usw sagt, dann bedeutet es nicht dass es doppelt ist, das ist dann einfach nur die Vielfachheit. Bei doppelten Nullstellen berührt der Graph die x-Achse, also im allgemeinen: bei geraden Vielfachkeiten berührt der Graph dann die Achse, bei ungeraden schneidet er sie. Du musst bei der ersten Aufgabe ein x vorne streichen, da es sonst die Vielfachkeit 4 hätte. Für (0/3) setzt du einfach 0 ein und schaust was bei deinem Term bis lang rauskommen würde und fügst dann die nötige Zahl hinzu, damit für y-Wert 3 herauskommt. Was du gerade gemacht hast ist nur, soweit ich mich erinnern kann, eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse.
Bei der zweiten Aufgabe hättest du mit x^3 und den zusätzlich schon faktorisierten Nullstellen eine Vielfachkeit von 5 (zähle die x; tu das aber nur wenn ein mal da ist, nicht bei plus, wenn du weißt was ich meine)
Achsensymmetrisch? Also zwei doppelte Nullstellen. Das f(0|-8) auch wieder: 0 einsetzen und schauen was bei deinem bisherigen Term rauskommt und je nach dem etwas hinzufügen, damit am Ende das Ergebnis -8 herauskommt.