Funktionsgleichung durch 2 Punkten?
Ich komme wiedereinmal nicht weiter und wollte deshalb fragen, wie ich die Aufgabe weiterbearbeiten muss? (Siehe Anhang) Durch das Einsetzen kam ich nicht viel weiter...
3 Antworten
c = 1 ist richtig. Jetzt den zweiten Punkt einsetzen:
y(x) = a*x²+c
y(x=2) = 3 = a* 2² +1
2 = 4a
a = 0,5
Parabelgleichung:
y(x) = 0,5 * x² + 1
Das war gut! Nicht so schnell aufgeben!
4,5 = a • (-0,5)² + 5,5
du hast falsch zusammengefasst.
4,5 = 0,25a + 5,5
das ergibt auf der rechten Seite nicht 5,75a.
4,5 = 0,25a + 5,5 |-5,5
-1 = 0,25a |:0,25
-4 = a
Gegeben sind 2 Punkte, wie man die Punkte nennt ist egal :
P_1 (x_1 | y_1)
P_2 (x_2 | y_2)
Der Funktionsansatz lautet y = a * x ^ 2 + c
Gleichungssystem aufstellen :
I.) a * x_1 ^ 2 + c = y_1
II.) a * x_2 ^ 2 + c = y_2
II.) c = y_2 - a * x_2 ^ 2
I.) a * x_1 ^ 2 + y_2 - a * x_2 ^ 2 = y_1
I.) a * (x_1 ^ 2 - x_2 ^ 2) = y_1 - y_2
I.) a = (y_1 - y_2) / (x_1 ^ 2 - x_2 ^ 2)
I.) a = (y_2 - y_1 ) / (x_2 ^ 2 - x_1 ^ 2)
Fazit :
a = (y_2 - y_1 ) / (x_2 ^ 2 - x_1 ^ 2) und c = y_2 - a * x_2 ^ 2
mit x_2 > x_1
Nun zu deiner Aufgabe :
Parabel p_1 :
a = (3 - 1) / (2 ^ 2 - 0 ^ 2) = 2 / 4 = 1 / 2
c = 3 - (1 / 2) * 2 ^ 2 = 1
p_1 = (1 / 2) * x ^ 2 + 1
Parabel p_2 :
a = (5.5 - 4.5) / (0 ^ 2 - (- 0.5) ^ 2) = - 4
c = 5.5 - (- 4) * 0 ^ 2 = 5.5
p_2 = - 4 * x ^ 2 + 5.5
Nun die beiden Parabeln gleichsetzen :
(1 / 2) * x ^ 2 + 1 = - 4 * x ^ 2 + 5.5 | * 2
x ^ 2 + 2 = - 8 * x ^ 2 + 11
9 * x ^ 2 = 9
x ^ 2 = 1 | √(...)
x_1 = - √(1) = - 1
x_2 = √(1) = 1
x_1 und x_2 in eine der Parabelfunktionen p_1 oder p_2 einsetzen, ich nehme p_1 :
p_1 = (1 / 2) * x ^ 2 + 1
p_1(- 1) = (1 / 2) * (- 1) ^ 2 + 1 = 3 / 2
p_1(1) = (1 / 2) * 1 ^ 2 + 1 = 3 / 2
Also lauten die Schnittpunkte :
P(- 1 | 3 / 2) und P(1 | 3 / 2)
Der Teil mit dem Viereck dauert mir zu lang, vielleicht erklärt dir jemand anderes den Teil mit dem Viereck, oder vielleicht schaffst du das auch alleine.
Den Teil mit dem Viereck verstehe ich, aber vielen Dank!
Erster Punkt einsetzen => c = 1
Den 2. Punkt auch noch einsetzen...
3 = a 2² + c
...
Ich bin jetzt bei der zweiten Parabelgleichung und ich habe dabei ein wenig Probleme:
S2(0/5,5) Q(-0,5/4,5)
y=ax^2+c
5,5 = 0^2 + c
c = 5,5
4,5 = a • (-0,5)^2 + 5,5
4,5 = 5,75a
Und wenn ich jetzt durch 5,75 teile, kommt eine Kommazahl heraus, was bedeutet dass ich wahrscheinlich etwas im Rechenweg gemacht habe...Aber was?