Mit der Taylorentwicklung vom Sinus

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/taylor-entwicklung-einiger-trigonometrischer-funktionen

Zuerst veranschauliche mir die Situation, in dem ich den Graphen zeichne und den Punkt A eintrage. Die Grafik ist sogar schon gegeben. Ich beginne mit der allgemeinen Tangentengleichung t(x) = mx + b

Ich nehme hier eine beliebige Tangente, die durch den Ursprung geht, die hat dann die Form t(x) = mx mit b = 0

(Hier ist m = 1 gewählt, nur für die Grafik, das wird später errechnet)

Die Tangente soll durch den Punkt A gehen. Also muss ich die Gerade einmal um -1/3 nach links verschieben. So komme ich auf t(x) = m * ( x + 1/3)

Nun gilt es die Steigung m der Tangente herauszufinden. An der Stelle x0 sollen beide Funktionen die gleiche Steigung haben. Dazu muss ich beide Funktionen einmal ableiten

t(x) = m (x +1/3) = mx + 1/3 * m

t'(x) = m

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

An der Stelle x0 sollen beide Funktionen die gleiche Steigung haben. Also gleichsetzen

1) e^x = m

Nicht nur das. Es gibt auch einen gemeinsamen Berührpunkt an dem sich Tangente und Graph treffen. Dessen Stelle errechnet man durch gleichsetzen von f(x) = t(x)

2) e^x = mx + 1/3 * m

Jetzt habe ich zwei Gleichungen für ein Gleichungssystem. Ich wähle zur Lösung das Einsetzungsverfahren. Die erste Gleichung setze ich in die zweite Gleichung ein.

m = mx + 1/3 * m |-m

Jetzt habe ich immer noch 2 Variablen. Hier sieht man schon mal wenn m = 0 ist, habe ich eine Lösung gefunden, da in jedem Term ein m drin vorkommt. Das bestätige ich rechnerisch.

0 = mx + 1/3 * m - m

0 = m ( x + 1/3 - 1) Hieraus folgt m = 0 (das wäre die Lösung im Unendlichen)

Weiter mit der Klammer: x + 1/3 - 1 = 0

x - 2/3 = 0

x = 2/3

An der Stelle x0 = 2/3 gibt es den Berührpunkt. Welche Steigung hat dort f(x) ? Die Steigung am Berührpunkt muss die Steigung der Tangente sein. Tangente und Funktion haben dort die gleiche Steigung. (Eigenschaft einer Tangente)

f'(2/3) = e^(2/3)

Damit ist dort die Steigung m = e^2/3 = 1,9477

Tangentengleichung:



Zwei mal Ableiten, dann hat man f"(x) = 4 cos(2x) = 0 |:4

cos(2x) = 0

Vergleich mit g(x) = cos(x). Nullstellen sind bei 0,5pi und 1,5pi. (Das muss man auswendig wissen.) Der Abstand dazwischen ist 1,5pi - 0,5pi = 1pi

Dagegen schwingt cos(2x) doppelt so häufig, das heißt Nullstellen sind zu erwarten alle 1pi / 2 = 0,5 pi.

Lösen wir f"(x) = cos(2x) = 0 nach x auf. | arccos()

2x = arccos(0)

2x = 0,5 pi |:2

x = 0,25 pi.

Die erste Nullstelle ist bei x = 0,25 pi. Wie oben berechnet sind Nullstellen alle 0,5 pi zu erwarten. Damit ist die nächste Nullstelle bei x = 0,25 pi + 0,5pi = 0,75pi usw.

Allgemein: x = 0,25pi + 0,5k * pi mit k element Z

Diese Nullstellen von f" sind dann die Wendestellen von f.

So kann man starten. Hier zählt der Timer von 60 runter.

https://www.tinkercad.com/things/dL5f8iZq4Y3-gf-timer-60sek-auf-lcd-display

Du kannst ja den Test machen:

a = 1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4

(1-2)(3-4) = +1

1*3-1*4-2*3+2*4 = +1

Also passt es.

Formel für die Halbwertszeit ist

N(t) = No × 0,5 ^(t÷T)

Dabei ist t die Variable, T = 5730 Jahre, No = 100% für den Startwert bei dem das Mammut noch lebt, N(t) = 21%

Musst du einsetzen und nach t auflösen mit dem log oder ln.

3a) f(x) = sin(x +2)

Verschiebungen gehen immer so. Einfach um x eine Klammer setzen und dann + oder - die Verschiebung. Nach rechts wird mit einem - Zeichen verschoben, nach links mit einem +.

Nutze Geogebra, so kannst du die markanten Punkte ablesen.

Wikipedia:

Längsumfang 70,5 bis 72,5 cm, ähnlich wie ein Fußball

Länge 27,5 bis 29 cm

Querumfang 52,7 bis 54 cm

Nehmen wir eine Parabel. Nullstellen sind bei 0 und 28 cm.

f(x) = a ( x - 0 ) * ( x - 28) = ax (x - 28)

Umfang ist 53 cm. Das heißt der Radius ist:

U = 2 pi * r

r = U / (2pi) = 53cm / ( 2pi) = 8,44 cm

Einsetzen in die Funktionsgleichung f(x) = ax (x - 28). Die Scheitelstelle ist bei 14 cm. P(14 | 8,44)

8,44 = a * 14 ( 14 - 28)

a = -8,44 / 14²

Funktionsgleichung eines Footballs:

f(x) = -8,44 / 14² * x * ( x - 28)

Multipliziere die Klammern aus, dann kommst du in die Normalform.

Für eine Funktion 2. Grades brauchst du (a+b)² und für eine Funktion 3. Grades brauchst du (a+b)³

Wie lange brauchte er mindestens bis er schließlich am Unfallort ankam?

Mindestens braucht er 81,25 sek, wenn er die ganze 130m lange Strecke schwimmt.

t = S/v = 130/1,6 = 81,25 sek

Ich ändere die Fragestellung mal um auf:

Wie hoch ist die kürzeste Zeit?

Das sind 45,62 sek. Dafür läuft er 109,79m am Strand und schwimmt dann das Reststück.

Du rechnest die Fläche aus. Diese ist von einem Rechteckt A = a * b = 95 * 58 = 5510

Wenn 1 m² zum Beispiel 1€ kosten würde, dann wäre der Kaufpreis 5510.

Wenn 1 m² zum Beispiel 2€ kosten würde, dann wäre der Kaufpreis doppelt so teuer mit 11020 €

Wenn 1 m² wie hier in deiner Aufgabe 12€/m² kostet, musst du die Fläche mit 12 multiplizieren.

Da es symmetrisch ist, kannst du die Fläche auch einfach nach rechts spiegeln. Einmal rechnest du | F(1) - F(0) | und addierst | F(2) - F(1) |. Jedes Teilergebnis musst du positiv machen, denn Flächen sind nur positiv.

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Ergänzung Bild

Denk dir zwei Zahlen aus, zum Beispiel x = 0 und x = 4. Dann nimm die erste Zahl und setze sie in deine Funktion ein, hier f(x) = x - 1. Du streichst das x weg und schreibst eine 0 wieder hin, also hast du f(0) = 0 - 1 = -1. Der erste Punkt ist dann bei P(0|-1).

Das gleiche mit dem zweiten Punkt f(4) = 4 - 1 = 3. Der Punkt lautet Q(4|3). Zu zeichnest ein Koordinatensystem und zeichnest die beiden Punkte ein und verbindest diese mit eine Geraden.

Mach das mit allen Funktionen. Danach sollst du noch ein bisschen deine Beobachtung beschreiben. Du kannst darüber schreiben, dass die letzte Zahl der Funktion den Schnittpunkt mit der y-Achse beschreibt. Du kannst auch schreiben, dass wenn die Zahl vor dem x negativ ist, oder ein Minus hat, die Gerade nach unten zeigt.

So gehts:

 void setup()
{
  Serial.begin(9600);
  for(int i = 3; i >= 0; i-- ){
   Serial.println(i);
    delay(1000);
  }
}

void loop(){}

Weiter habe ich deine Schaltung nicht verstanden, weil du viele Inputs hast und Outputs. Wenn du einen Taster einfügen möchtest, dann brauchst du nur einen Input. Danach kann ich den Code erweitern.

Du kannst mit TinkerCad arbeiten.

Du kannst ja hier gucken und das nacharbeiten und vorlernen was du noch nicht weißt.

https://studyflix.de/mathematik-schueler
https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/ableiten/

Das ist das durchschnittliche Gefälle der Straße zwischen x = 1 und x = 2.

du musst f(2) und f(1) ausrechnen, also einfach 2 und dann 1 in die Funktion einsetzen und den Wert ausrechnen, gemäß der Formel.

Grundwert: G = 148 m²

Prozentwert W = 148m² + 28m²

p = 100 * W/G

Dort wird ein Ergebnis größer als 100 herauskommen, weil man vorher 100% hatte und nun mehr als 100% da der Wald sich vergrößert hat. Beachte das wenn du deine Antwort gibst um wie viel Prozent mehr sich der Wald vergrößert hat.

Ja in der Uni wird alles besser

https://www.youtube.com/watch?v=w4l1uk5qVGE&t=427

Für alle x setzt du x+2 ein mit Klammer:

f(x)=2x + 6

f(x+2) = 2 * (x +2) + 6

Dann wird vereinfacht, also Klammer aufgelöst.

2x + 4 + 6

2x + 10

Jetzt musst du überprüfen, ob das das gleiche ist wie f(x) + 6. Hinter die Funktion f(x) setzt du +6 dahinter.

f(x)=2x + 6 Das ist die Ausgangsfunktion. Die hat schon eine +6 aber die ist nicht gemeint. Ignorieren.

Jetzt einmal +6 hintersetzen.

f(x) + 6 = 2x + 6 + 6

Vereinfachen

2x + 12

Da 2x + 10 nicht das gleiche ist wie 2x + 12 wäre diese Aussage falsch, also kein Kreuz.

.......

So geht es mit Geogebra.

1) Gib die Funktion aus der Aufgabe ein. Dann blende sie wieder direkt aus, mit Klick auf den grünen Kreisbutton.

2) Erstelle eine weitere Funktion für die erste Verschiebung. Gib ein f(x+2)

3) Gib eine weitere Funktion an. Gib ein f(x)+6

4) Auswertung. Wenn beide Funktionen aufeinander liegen, sind sie = gleich und du machst ein Kreuz in deiner Aufgabe.

Liegen sie wie hier im Bild nicht aufeinander, sind sie ungleich.