Funktionenschar?
Begründen Sie unter Zuhilfenahme der Abbildung 1, dass es ein zur y-Achse symmetrisches Quadrat geben muss, von dem zwei Eckpunkte auf der x-Achse und zwei Eckpunkte auf G(0,5) liegen.
Gegeben:
Graph:
Danke!
2 Antworten
Stichwort: Zwischenwertsatz.
Interessant ist nur der Bereich zwischen -0,5 und +0,5.
Ich betrachte folgendes zur Veranschaulichung: Meine vier Punkte sind zunächst
A=(-0,5 ; 0),
B=(-0,5 ; f(-0,5))
C =(0,5 ; f(0,5))
D= (0,5;0) .
Offenbar ist |AB| = |CD| und |AD | =|BC|.
Aber die Strecken AB und AD sind offenbar nicht gleichlang, genauer gesagt: die Strecke AB ist kürzer als die Strecke AD.
Ich bastele mir jetzt eine Funktion:
h(0,5) = |AD|-|AB|.
Anders gesagt: für einen positiven reellen Wert x sei
A = (-x, 0)
B = (-x, f(-x))
C = (x, f(x))
D = (x,0).
h(x) = |AD|-|AB|, d. h. für jeden Wert x ist h(x) gerade die Abweichung zwischen der Länge der vertikalen und der horizontalen Kante des Rechtecks.
Jetzt gehe ich dichter an die y-Achse heran, so ungefähr bis zu x = 0,1. Dann sehe ich, dass jetzt die vertikale Kante länger ist als die horizontale Kante, h(x) ist also hier negativ.
Wegen des Zwischenwertsatzes muss es zwischen den beiden Werte einen Wert x' geben, bei dem h(x') = 0 gilt - und da habe ich dann das Quadrat.
Wenn man x1 = -1 und x2 = 1 als Punkte auf der y-Achse wählt, bekommt man ein Rechteck, das breiter als hoch ist.
Wenn man x1 = -0,01und x2 = 0,01 wählt, bekommt man ein Rechteck, das höher als breit ist.
Da die Funktion stetig ist, muss es zwischen x1 = -1 und x1 = -0,01 (bzw. x2 = 1 und x2 = 0,01) einen Wert geben, für den das Rechteck genau so hoch wie breit ist. Das ist ein Quadrat.