Frage zu Rekonstruktion von Funktionen
Ich sitze gerade an einer Mathe Hausaufgabe. Heute im Unterricht haben wir gelernt, dass eine Funktion, die symmetrisch zum Koordinatenursprung ist nur ungerade Exponenten hat und eine Funktion, die punksymmetrisch ist nur gerade Exponenten hat. Nun steht hier in meiner Aufgabe: "Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Urprung und ... "
Jetzt habe ich mir überlegt, dass ersteinmal eine Fkt. dritten Grades solch ein Bild hätte: ax³+bx²+cx+d
Wenn man dann nun aber alle ungeraden Exponenten weglässt, ist ja die Bedingung für eine "Funktion dritten Grades" nichtmehr gegeben... Aber mich irritiert auch das "zum Koordinatenurspung" ?
Unterläuft mir gerade ein Denkfehler? Hat jemand einen Denkansatz oder kann mir sagen, wo mein Fehler liegt?
3 Antworten
die punksymmetrisch ist nur gerade Exponenten hat.
Das muss heißen achsensymmetrisch.
Aber mich irritiert auch das "zum Koordinatenurspung" ?
Das steht deswegen da, weil der Funktionsgraph auch zu einem anderen Punkt als dem Ursprung punktsymmetrisch sein könnte.
Betrachte mal f(x) = x³+1.
Stünde da nur x³, dann wäre die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Nun steht da aber x³+1. Das ist dasselbe als hättest du ersten den Graph für den Fall x³ gezeichnet und ihn dann um 1 nach oben verschoben.
Damit f(x) = x³+1 natürlich nicht mehr punktsymmetrisch zum Ursprung, jedoch punktsymmetrisch* zum Punkt (0; 1).
Oder, nimmst du stattdessen die Funktion f(x)=(x-2)³+5, dann ist diese punktsymmetrisch zum Punkt (2; 5).
Du hast etwas falsch verstanden! Symmetrisch zum Ursprung und punktsymmetrisch ist absolut das Gleiche und bei allen ungeraden Graden (bei + der 3. und 1. Quadrant, bei - x³ der 2. und 4. Quadrant). Achssymmetrie bedeutet symmetrisch zur y-Achse! Generell wird der Funktionsgrad nach der höchsten Potenz festgelegt! Würdest du oben die ungeraden Exponenten (3, 1) weglassen, würde nur eine quadratische da stehen y = bx² + d , das wäre die Parabel aus dem Ursprung um d auf der y-Achse nach oben verschoben, wie es auch für alle anderen gilt.
Achssymmetrie bedeutet symmetrisch zur y-Achse!
Du möchtest hier nachlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie#Achsensymmetrie_von_Funktionsgraphen
punktsymm. nur ungerade Expos; also y=ax³+bx
Das ist falsch! Sowie sie ein lineares Glied haben, wird die punktsymetrische Funtion aus dem Ursprung (bei +x) nach links unten (in Quadrant 3) verschoben und ist nicht mehr punktsymmetrisch!
Danke Ellejolka, OK, du hast Recht, da durch die fehlenden geraden Exponenten keine Extrempunkte entstehen und durch fehlende Konstante die Funktion durch den Ursprung geht, sind diese Formen punktsymmetrisch. Hab dazu gelernt! Mir war nur bewusst, dass durch das lineare Glied im Allgemeinen die Funktion immer auf der Geraden bx/2 verschoben wird!
Danke Ellejolka, OK, du hast Recht, da durch die fehlenden geraden Exponenten keine Extrempunkte entstehen
y = x³ - x
Diese Funktion (ohne gerade Exponenten) hat durchaus Extremstellem.
Du solltest dir ein anderes Hobby suchen.
U.Nagel hat etwas falsch verstanden.
Du möchtest hier nachlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Punktsymmetrie#Punktsymmetrie_von_Funktionsgraphen