Formel für größe des Kreises?
Wenn ich einen Kreis habe, ihn in 12 Teile einteilen und ich aber nicht die Winkel, sondern nur die Maße der Sehne habe bzw ich dieses Maß für alle Teile herausfinden will, wenn der Kreis 20cm im Durchmesser hat oder so, wie geht das und geht das überhaupt? Gibt es da Formeln für und wenn ja, wie nennt man diese?
Ps: Keine Schulaufgaben, sondern Projekt von mir :)
3 Antworten
Du willst also den Winkel ermitteln. Nun die blaue Linie und die grüne sind beide der Radius. Wenn du eine Linie von Punkt M zum Mittelpunkt der Sehne ziehst, hast du zwei rechrwinklige Dreiecke.
Und du wendest Sinussätze im rechtwinkligen Dreieck an.
sin b = gegenkathete / hypotenuse) = (sehne/2) / radius
Winkel a ist doppelt so groß wie b. Also a = 2b. Die beiden anderen Winkel sind gleichgroß, denn ihre Gegenseiten sind beide gleich lang (Sinussatz im allgemeinen Dreieck a/sin alpha = b/sin beta wenn a und b gleich sind, sind alpha und beta gleich, sonst geht der Sinussatz nicht auf). Die Winkelsumme im Dreieck ist 180 also 180 = 2b + alpha + beta = 2b + 2 alpha
90 = b + alpha
b kennst du, also kannst du alle anderen Winkel ermitteln.
Ja, die gibt es. Die kannst du auch selbst aufstellen.
Du kannst hierbei dir Regeln der trigonometrischen Funktionen verwenden d.h sin cos tan.
20 cm Durchmesser bedeutet 10 cm Radius.
Die Sehne hat auch ein Maß (hier nicht gegeben)
"Alpha" bekommt man mit dem Cosinussatz heraus.
Bei bekannter Sehnenlänge ist es aber unwahrscheinlich dass du genau 12 Teile bekommst.
Genau 12 Teile bekommst du indem du den Gesamtwinkel im Kreis (1 Umdrehung) durch 12 teilst.
360° : 12 Teile = 30°
Mit den 30° für "Alpha" und dem Radius von 10 cm kannst du nun auch wieder über den Cosinussatz die Sehnenlänge bestimmen.
Cosinussatz:
a² = b² +c² - 2*b*c*cos "Alpha"
oder umgestellt
cos "Alpha" = b²+c²-a² / 2*b*c