Extremwertaufgabe mit minimalen Abstand?
Hallo, wiedermal eine Mathe-Frage:
Ein Stadttor hat die unten dargestellte Form (wie ein Tor, geht oben spitz zusammen), seine umrisse können durch folgende fkt beschrieben werden:
y1= Wurzel(9x+27)
y2=Wurzel(27-9x) Das Tor geht von -3 bis 3
In der Mitte fährt ein bus mit 2.2m breite und 3.9m höhe durch.
Gesucht: Minimaler Abstand zw Bus und Torbogen
Lösung:0.157
Ich hoffe irgendein Matheprofi kann mir weiterhelfen.
2 Antworten
Hallo,
wenn der LKW mittig hindurchfährt, paßt es sowieso, weil er dann zu beiden Seiten um 1,1 m von der y-Achse abweicht.
Wurzel (27-9*1,1)=4,135 m und somit höher als der LKW.
Wie weit darf er nach rechts oder links von der Mitte abweichen?
Er kann nur so weit nach rechts, wie Wurzel (27-9x) nicht kleiner als 3,9 m wird.
Wurzel (27-9x)=3,9
27-9x=3,9²
9x=27-3,9²
x=(27-3,9²)/9=1,31 m.
Der LKW darf also um höchstens 0,21 m (besser etwas weniger) von der Mitte abweichen, ohne mit dem Torbogen in Berührung zu kommen.
Der Abstand am Boden beträgt dann 1,69 m. (3 m-1,31 m).
Herzliche Grüße,
Willy
Vermutung ist dass man eine NB aufstellen muss aber ich kenn mich selbst nicht mehr aus ..
Das Abstandsmaß bezieht sich nicht auf die x-Richtung und auch nicht auf die y-Richtung, sondern ist das schräge Maß zwischen oberer LKW-Ecke und der Wurzelfunktion. Mit hinreichender Genauigkeit kann man das ermitteln (0,158 m), wenn man eine lineare Funktion durch die obere LKW-Ecke legt mit der Steigung m = 1 (für die rechte obere Ecke) und diese mit der Wurzelfunktion zum Schnitt bringt.
Das kann sein.
Dann wird aber vorausgesetzt, daß LKW genau mittig durch den Tunnel fährt. Davon steht in der Aufgabe aber nichts.
Er kann ja auch so fahren, daß er mit der rechten oberen oder linken oberen Ecke haarscharf am Torbogen vorbeischrammt.
Obwohl: In der Mitte könnte man schon so interpretieren.
Ist aber etwas schwammig.
Genau in der Mitte wäre klarer.
Ja, sonst geht es bei Aufgaben dieser Art meist um einen waagerechten oder senkrechten Abstand. Hier müsste man für eine exakte Berechnung wohl von einer Abstandsfunktion ausgehen so in der Art: h(x) = [(x - 1,1)² + (W(27 - 9x) - 3,9)²]^0.5 und diese minimieren.
Tut mir leid, hab die angabe verkürzt, in der mitte bedeutet genau in der mitte
Diese Funktion verwirrt mich.. ich werde beten und hoffen dass sowas nicht zur Prüfung kommt :,) Aber danke! versuche es noch irgendwie zu verstehen.
Die genannte Funktion führt zu P (1,2178│4,005) als Funktionspunkt mit minimalem Abstand von der oberen LKW-Ecke und zu einem Abstand von 0,158 m. Das deckt sich mit meiner ersten Rechnung und unterstreicht, dass die Näherungsberechnung ohne Extremwertberechnung in diesem Fall hinreichend genau ist.
[(x - 1,1)² + (W(27 - 9x) - 3,9)²]^0.5 ist der Abstand nach Pythagoras.
Du mußt Dir immer eine Skizze machen, dann wird der Sachverhalt klarer.
Das vereinfacht die Ableitung enorm. Es ist sonst ein gewaltiger Brocken.
Wenn es um den kleinsten Abstand zwischen der rechten oberen Ecke des LKW, der genau mittig fährt und dem Torbogen fährt, kannst Du die Nebenbedingung nach dem Satz des Pythagoras aufstellen.
Die rechte obere Ecke entspricht dem Punkt (1,1|3,9).
Der Abstand zwischen diesem Punkt und irgendeinem Punkt (x|f(x)) des Torbogens zwischen senkrecht darüber und waagerecht rechts daneben (dazwischen muß der kürzeste Abstand liegen), ist nach dem Satz des Pythagoras
die Wurzel aus ((x-1,1)²+(f(x)-3,9)²).
Du kannst aber auch das minimale Quadrat des Abstandes bestimmen, also die Ableitung von (x-1,1)²+(f(x)-3,9)² auf Null setzen.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hab's nachgerechnet und komme auf einen
minimalen Abstand von 0,157784 m.
Führt allerdings zu einer Gleichung 3. Grades, die man besser mit Hilfe eines Rechners löst.
Tipp: Ersetze Wurzel (27-9x) durch 3*Wurzel (3-x), das macht das Ableiten einfacher.
Vielen Dank für die Hilfe! Allerdings hatte ich das Beispiel genau so gelöst, ich glaube irgendetwas im Bezug auf das Minimum stimmt nicht, im Lösungsbuch steht ja dass 0.157m als minimaler abstand rauskommen. Da komm ich auch nicht drauf :/