Extrem- und Wendepunkte berechnen bei Funktion 4. Grades?
An sich weiß ich ja wie man extrem und Wendepunkte berechnet... Ich habe jedoch die ganzrationale Funktion f(x)=x^4-2x^2 gegeben. Dann habe ich natürlich die Ableitungen gebildet und wollte dann f'(x) Null setzen und nach x auflösen. Dann müsste ich ja da f'(x)= 4x^3-4x das x ausklammern... Aber dann komme ich nicht weiter.. vielleicht kann mir jemand helfen? Oder gehe ich die ganze Sache vielleicht auch falsch an??
3 Antworten
Originalfunktion :
f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2
Diese Funktion 3 mal ableiten :
f´(x) = 4 * x ^ 3 - 4 * x
f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 4
f´´´(x) = 24 * x
Nun die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen :
f´(x) = 4 * x ^ 3 - 4 * x
4 * x ^ 3 - 4 * x = 0
x ausklammern :
x * (4 * x ^ 2 - 4) = 0
Weil man ein x ausklammern konnte ist die erste Nullstelle der ersten Ableitung wegen dem Satz vom Nullprodukt automatisch x_1 = 0
Die restlichen Nullstellen bestimmt man über den Term der durch das ausklammern in der Klammer steht :
4 * x ^ 2 - 4 = 0
Das durch 4 teilen :
x ^ 2 - 1 = 0
Auf beiden Seiten der Gleichung + 1 addieren :
x ^ 2 = 1
Nun die Wurzel ziehen und daran denken, dass es eine negative und eine positive Wurzel gibt :
x_2 = - √(1) = -1
x_3 = +√(1) = +1
Die Indizes, also _1 und _2 und _3 kann man auch umsortieren :
x_1 = -1
x_2 = 0
x_3 = +1
Das sind die Nullstellen der ersten Ableitung und somit mögliche (!) Extremstellen der Originalfunktion.
Aufgepasst ! Es handelt sich um mögliche Extremstellen, nicht Extrempunkte.
Um vollständige Punkte zu erhalten muss man x_1 und x_2 und x_3 noch in die Originalfunktion einsetzen :
f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2
f(-1) = (-1) ^ 4 - 2 * (-1) ^ 2 = -1
f(0) = 0 ^ 4 - 2 * 0 ^ 2 = 0
f(1) = (1) ^ 4 - 2 * (1) ^ 2 = -1
Man hat nun also die möglichen Extrempunkte :
(-1|-1)
(0|0)
(1|-1)
Ob es wirklich Extrempunkte sind und ob sie Minimas oder Maximas sind ermittelst du über die 2-te Ableitung und falls nötig auch über die 3-te Ableitung.
Dazu setzt du jetzt die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die 2-te Ableitung ein, also dieselbe Prozedur wie eben, nur das diesmal in die 2-te Ableitung eingesetzt wird :
f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 4
f´´(-1) = 12 * (-1) ^ 2 - 4 = +8
Weil das größer als Null ist, also > 0, deshalb handelt es sich beim Punkt (-1|-1) (siehe oben) um ein Minimum.
f´´(0) = 12 * (0) ^ 2 - 4 = -4
Weil das kleiner als Null ist, also < 0, deshalb handelt es sich beim Punkt (0|0) (siehe oben) um ein Maximum.
f´´(1) = 12 * (1) ^ 2 - 4 = +8
Weil das größer als Null ist, also > 0, deshalb handelt es sich beim Punkt (1|-1) (siehe oben) um ein Minimum.
Zusammenfassung :
Minimum im Punkt (-1|-1)
Maximum im Punkt (0|0)
Minimum im Punkt (1|-1)
Anmerkung :
Hätte f´´(x) für eine der eingesetzten Nullstellen der 1-ten Ableitung den Wert Null angenommen, also wäre f´´(x) = 0 gewesen, und wäre gleichzeitig f´´´(x) für dieselben Nullstellen nicht Null gewesen, also ungleich Null (≠ 0) gewesen, also f´´´(x) ≠ 0 ,dann hätte es sich um einen Sattelpunkt gehandelt, der kein Extremwertpunkt ist !, sondern einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente darstellt.
Nun zur Berechnung von Wendepunkten :
Dazu berechnest du erstmal die Nullstellen der zweiten Ableitung :
f´´(x) = 12 * x ^ 2 - 4
12 * x ^ 2 - 4 = 0
Durch 12 teilen :
x ^ 2 - 4 / 12 = 0
4 / 12 kann man noch kürzen :
x ^ 2 - 1 / 3 = 0
Auf beiden Seiten der Gleichung + 1 / 3 addieren :
x ^ 2 = 1 / 3
Nun die Wurzel ziehen und wieder daran denken, dass es eine negative und eine positive Wurzel gibt :
x_1 = - √(1 / 3) = - √(1) / √(3) = -1 / √(3)
x_2 = +√(1 / 3) = √(1) / √(3) = 1 / √(3)
Die Nullstellen der 2-ten Ableitung nun in die 3-te Ableitung einsetzen :
f´´´(x) = 24 * x
f´´´(-1 / √(3)) = -24 / √(3)
Da das nicht Null ist, also ungleich Null ist (≠ 0), deshalb handelt es sich bei der Stelle x_1 = -1 / √(3) um eine Wendestelle.
f´´´(1 / √(3)) = 24 / √(3)
Da das ebenfalls nicht Null ist, also ungleich Null ist (≠ 0), deshalb handelt es sich bei der Stelle x_2 = 1 / √(3) ebenfalls um eine Wendestelle.
Aufgepasst, es handelt sich um Wendestellen, und noch nicht um Wendepunkte.
Um vollständige Wendepunkte zu erhalten, müssen die Wendestellen in die Originalfunktion eingesetzt werden :
f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2
f(-1 / √(3)) = (-1 / √(3)) ^ 4 - 2 * (-1 / √(3)) ^ 2 = - 5 / 9
f(1 / √(3)) = (1 / √(3)) ^ 4 - 2 * (1 / √(3)) ^ 2 = - 5 / 9
Damit kennt man nun folgende Wendepunkte :
(-1 / √(3) | - 5 / 9)
(1 / √(3) | - 5 / 9)
Eine gute Webseite um die eigenen, gemachten Berechnungen auf Korrektheit zu überprüfen ist diese :
https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion
Dank dieser Webseite weiß ich auch, dass ich mich nicht versehentlich verrechnet habe ;-))
Ergänzung: Bevor du rechnest, sieh dir den Term an:
f(x) = x²(x²-2)
Man erkennt ohne Rechnung: f ist achsensymmetrisch, die Nullstellen sind 0 und +- sqr(2). Da bei 0 eine doppelte Nullstelle vorliegt, ist dort ein Extremum. Wenn du jetzt den Graphen skizzierst, erkennst du, dass es zwei weitere Extrema und zwei Wendestellen geben muss.
Für die Prüfung, ob Extrema tatsächlich an den Nullstellen von f' sind ist das Vorzeichenwechselkriterium aussagekräftiger.
4x^3-4x = 0
x (x² - 4) = 0
Nullstelle1 bei 0
x² - 4 = 0
x² = 4
x2 = 2
x3 = - 2
War es das, was Du wissen wolltest?
sorry - da ist ein Fehler - ich habe falsch abgeschrieben - hier nochmal:
4x³ - 4x = 0
x (4x² - 4) = 0
Nullstelle 1 bei 0
4x² - 4 = 0
4x² = 4 | : 4
x² = 1 | Wurzel ziehen
x2 = 1
x3 = -1
Nein das war nicht das was ich wissen wollte... Ich wollte wissen wie ich wende und Extrempunkte dieser Funktion berechne
Krass danke