Erstelle eine Polynomfunktion möglichst kleines Grades?
Hallo
Aufgabe:
Gebe die Gleichung einer Polynomfunktion möglichst kleinen Grades an.
Bedingung:
Nullstelle: 3 und -4
Durch Punkt: A(1/4)
Lösung:
f(x)=-0.4*(x-3)(x+4)
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Die Aufgabe muss ich ohne Taschenrechner und ohne Ableitung lösen.
Auf (x-3)(x+4) bin ich auch gekommen, aber nicht auf die 0.4.
Wenn ich das richtig verstehe, dann habe ich eine Polynomfunktion 2. Grades
f(x)= ax^2+bx^1+c
Ich dachte, dass ich ein Gleichungssystem erstelle um alles zu berechnen:
- 0 = a*3^2+b*3^1+c
- 0 = a*(-4)^2+b*(-4)^1+c
- 4=a + b + c
=> Resultat: a=-0.4, b = -0,4, c=4.8 soweit alles ok
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- Warum weiss man das vor dem ()() das a ist?
- Kann direkt aus f(x)= a(x-3)(x+4) auf a schliessen? (ohne auflösen)
4 Antworten
Also die Lösung zu dem Problem muss die Form f(x)=a*(x-3)(x+4) haben, denn du hast 3 Bedingungen gegeben, weswegen der Grad von f kleiner oder gleich 2 sein muss(der Grad soll möglichst klein sein), und da du beide Nullstellen kennst, lässt sich f(x) in die genannten Linearfaktoren zerlegen.
Jetzt musst du nur noch a bestimmen:
Setzte dafür x=1 ein, dann ist f(1)=a*(-2*5)=-10a
Du willst, dass f an der Stelle den Wert 4 annimmt, also muss -10a=4 gelten, also a=-0.4
f(x) = a * (x - 3) * (x + 4)
P (1│4) einsetzen:
4 = a * (1 - 3) * (1 + 4)
a = - 4 / 10 = -0,4
zu 1.
Wenn man (x-3)(x+4) ausmultipliziert, erhält man x² + ...
Um auf ax² + ... zu kommen, muss man mit a multiplizieren, also a(x-3)(x+4).
zu 2.
x = 1 in (x-3)(x+4) eingesetzt ergibt -10.
Wir wollen aber 4 haben, also müssen wir mit -4/10 multiplizieren. (Die Nullstellen verschieben sich dadurch nicht.)
Auf f(x)=a(x-3)(x+4) kommt man sofort, wegen der beiden gegebenen Nullstellen.
Und wenn man dann den gegebenen Punkt (1/4) einsetzt:
a(1-3)(1+4) = 4
dann kann man schnell im Kopf a ausrechnen.