Einheitskreis als Integral?
Hallo, habe mir grad überlegt die Fläche in einem Kreis (Einheitskreis) zu berechnen.
Die Funktion wäre für diesen= x^2+y^2=1
Wie kann ich das in z.b. den Taschenrechner reinschreiben? Ist ja keine richtige Funktion
5 Antworten
Solche Integrale werden gern in Polarkoordinaten berechnet. Die Funktion für den Kreis lautet dann:
§ Sin(a) * r dr da
Wobei r der Kreisradius ist und a der Winkel von 0 bis 360° ist.
Entweder in kartesischen Koordinaten. Dann muss nach y aufgelöst werden.
y = Wurzel(1 - x²)
Die Integration müsste von x=-1 bis x=+1 ausgeführt werden. Du würdest die Fläche des oberen Halbkreises erhalten. Das doppelte davon wäre dann die Fläche des Vollkreises
Oder in Polarkoordinaten:
Ein infinitesimal kleiner Kreisring hätte dann die Fläche
dF = 2·π·r·dr
Die Stammfunktion wäre: π·r²
Wenn hier die Obergrenze r=1 für den Einheitskreis eingesetzt wird, dann erhält man als Fläche für den Einheitskreis die Zahl π.
Oder als infinitesimal kleines Tortenstückchen der Höhe h und der Basislänge 1 ·dϕ
dF = 1/2 ·1 ·dϕ
Stammfunktion: 1/2 ·ϕ
Es muss der Vollkreis von ϕ=0 bis ϕ = 2π betrachtet werden, womit auch die Integrationsgrenzen definiert sind. Wieder kommt F = π heraus.
Berechne das Integral des Halbkreises und verdopple dann.
https://youtube.com/watch?v=3Ku_BEFGveo Google doch einfach mal vorher :-).
Die kannst du auch einfach mit der Formel 4/3*pi*r³ berechnen
Das gilt für die Kugel. Nicht für einen Kreis.
Außerdem geht es hier wohl eher darum, das Prinzip zu verstehen.