Einheitskreis als Integral?

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5 Antworten

Entweder in kartesischen Koordinaten. Dann muss nach y aufgelöst werden.

y = Wurzel(1 - x²)

Die Integration müsste von x=-1 bis x=+1 ausgeführt werden. Du würdest die Fläche des oberen Halbkreises erhalten. Das doppelte davon wäre dann die Fläche des Vollkreises

Oder in Polarkoordinaten:

Ein infinitesimal kleiner Kreisring hätte dann die Fläche

dF = 2·π·r·dr

Die Stammfunktion wäre:   π·r²

Wenn hier die Obergrenze r=1 für den Einheitskreis eingesetzt wird, dann erhält man als Fläche für den Einheitskreis die Zahl π.

Oder als infinitesimal kleines Tortenstückchen der Höhe h und der Basislänge    1 ·dϕ

dF = 1/2 ·1 ·dϕ

Stammfunktion:  1/2 ·ϕ

Es muss der Vollkreis von ϕ=0 bis ϕ = 2π  betrachtet werden, womit auch die Integrationsgrenzen definiert sind. Wieder kommt F = π heraus.

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Solche Integrale werden gern in Polarkoordinaten berechnet. Die Funktion für den Kreis lautet dann:

§ Sin(a) * r dr da

Wobei r der Kreisradius ist und a der  Winkel von 0 bis 360° ist.

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Berechne das Integral des Halbkreises und verdopple dann.

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Die kannst du auch einfach mit der Formel 4/3*pi*r³ berechnen

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Kommentar von Comment0815
15.11.2016, 08:50

Das gilt für die Kugel. Nicht für einen Kreis.

Außerdem geht es hier wohl eher darum, das Prinzip zu verstehen.

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Google doch einfach mal vorher :-).

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