Eigenvektor und Diagonalmatrix?
Aufgabenteil a) und b) sind mir völlig klar.
Aber wie wird c berechnet, finde dazu nichts ähnliches in den Unterlagen. Besonders unklar ist mir der zweite Teil mit der Diagonalmatrix.
Hast du zumindest schon geschafft, die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen?
eigenwerte: L1= 1; L2= 2; L3= -2 raus. Wenn ich die Eigenvektoren dazu bilden möchte kommen aber bei L1= (t,0,0) L2 (0,0,0) L3 (0,0,0) raus. sind L2&3 aber nicht überflüssig, da 0?
1 Antwort
Die Eigenwerte werden über das charakteristische Polynom P_A ermittelt.
Die Nullstellen dieses Polynoms sind die gesuchten Eigenwerte.
Ein kurzer Beweis: Sei x aus K^n ungleich 0.
Die Eigenvektoren berechnest du in dem du den folgenden Kern berechnest.
Der 2.Teil kann gelöst werden, indem als Spalten von S eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A gewählt wird.
Du erhälst zweimal den Nullvektor, da deine Eigenwerte bis auf 1 falsch sind.
ich sehe auch gerade meinen .... Anfängerfehler
Eigenwerte 1,-1,5.
Stimmt das nun?
dann habe ich die eigenvektoren (0,0,t), (0,t,k) und (0,t,k) raus
Es haben sich nämlich 2 nullzeilen ergeben, deshalb t & k ?
Die Eigenwerte stimmen. Die Vektoren noch nicht ganz. (0,0,t) ist falsch, da eine Multiplikation mit A (0,3t,2t) ergibt. Die anderen sind evtl richtig. Du musst nur k korrekt wählen. Einmal als k=t und das andere Mal als k= -t. Wo du welche Wahl treffen musst, kannst du dir selber erschließen.
oh, ja klar. meinte auch (t,0,0) stimmt das dann?
ich verstehe nicht ganz was sie meinen mit einmal k=t und k=-t
wann muss ich das wählen? wären meine antworten noch nicht korrekt so?
Ja (t,0,0) ist richtig.
Ich meine damit, dass (0,t,k) nicht richtig ist bevor k genauer bestimmt wird. Denn k ist abhängig von t. Berechne einfach mal A*(0,1,k) (t=1) und bestimme dann k einmal für den Eigenwert -1 und dann für 5. Es werden dann für -1 und 5 zwei unterschiedliche k's herauskommen.
wie bestimme ich denn k für die eigenwerte. verstehe den schritt nicht :(
Ich geb mal einen Tipp. Setze k=t und dann k=-t. Dann schau für welche dieser 2 Möglichkeiten ein Eigenvektor zu 5 und einer zu -1 herauskommt (einfach multiplizieren mit der Matrix).
habe als eigenwerte 1,2,-2 raus
die eigenvektoren sehen mir aber falsch aus.
v1 = (0,0,t) v2= (0,0,0) v3= (0,0,0)
2 mal den nullvektor raus zu haben erscheint mir etwas seltsam.