Ebenen konstruieren mit 45° Schnittwinkel und Abstand von 5 zu bestimmtem Punkt?
Hallo,
mir wurde in der Mathe 1 Prüfung folgende Aufgabe gestellt:
"Konstruieren Sie zwei Ebenen 𝐸1 und 𝐸2, die sich in einem Winkel von 45° schneiden und jeweils einen Abstand 𝑑 = 5 zum Punkt P = (-10, -20, 15) haben. Geben Sie diese Ebenen in der Form 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 = 𝑎4 mit entsprechenden Zahlen 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 und 𝑎4 an."
Meine Idee war zu versuchen die normalen Vektoren im 45° Winkel schneiden zu lassen. Als erste Ebene hatte ich E= 10x3. Da ich als x3 des Punktes 15 gegeben hatte und ich mit 10*x3 genau 5 darunter liege. Als normalen Vektor für die erste Ebene würde sich ja dann (0/0/1) ergeben oder? Allerdings bin ich über diesen Ansatz noch nicht hinaus gekommen und wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe.
1 Antwort
Hallo,
die einfachste Ebene, die einen Abstand von 5 zum Punkt (-10|-20|15) hat, wäre eine Parallele zur xy-Ebene, die durch z=10 geht.
Koordinatengleichung z=10 mit dem Normalenvektor (0/0/1).
Eine Ebene mit dem Normalenvektor (1/0/1) wäre dazu um 45° gedreht.
Koordinatengleichung x+z=d.
Um d zu berechnen, brauchst Du nur von P aus in Richtung (-1/0/-1) gehen, bis Du einen Abstand von 5 hast. P+a*(1/0/1)=Q, so daß |PQ|=5.
Die Koordinaten von Q sind (-10-a|-20|15-a) und PQ=Q-P, also (-a/0/-a) und es muß gelten:
Wurzel (a²+0+a²)=5
Wurzel (2a²)=5
a*Wurzel (2)=5
a=5/Wurzel (2).
Q=(-10-5/Wurzel(2)|-20|15-5/Wurzel (2))
Setze diesen Punkt in die Ebenengleichung der gesuchten Ebene x+z=d ein, so bekommst Du d.
d=-10-5/Wurzel (2)+0*(-20)+15-5/Wurzel (2)=-2,071067812.
Natürlich gibt es unzählige andere Lösungen.
Herzliche Grüße,
Willy