Drehmoment auf Staumauer?

Wie kann ich ein das Drehmoment auf die Staumauer berechnen?

Es handelt sich um die Staumauer wie im Link angegeben:

https://www.leifiphysik.de/mechanik/druck-und-auftrieb/aufgabe/druck-der-staumauer

Nur soll es möglich sein das die Staumauer um den roten Punkt rotieren könnte. Die Staumauer hat kein Eigengewicht und ist unendlich dünn...

Answer 1

[mihisu]

So ähnlich wie die Kraft, nur dass du nicht einfach die entsprechende infinitesimale Kraft dF = p(x) ⋅ b ⋅ dx aufintegrieren musst, sondern diese Kraft noch mit dem entsprechenden Abstand r(x) = h - x vom Drehpunkt multiplizieren musst, so dass du dann (h - x) ⋅ p(x) ⋅ b ⋅ dx für x von 0 bis h integrieren musst.

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Für den Druck von links her auf die Staumauer in Abhängigkeit von x erhält man...

$p_\text{L}(x)=p_0+\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot x$

Für den Druck von rechts her auf die Staumauer in Abhängigkeit von x erhält man...

$p_\text{R}(x)=p_0+\rho_\text{Luft}\cdot g\cdot x$

Für die entsprechende Druckdifferenz erhält man...

$p(x)=p_\text{L}(x)-p_\text{R}(x)=\left(\rho_\text{Wasser}-\rho_\text{Luft}\right)\cdot g\cdot x$

Wobei man die Luftdichte hier im Vergleich zur Wasserdichte vernachlässigen kann...

$p(x)=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot x$

Die Staumauer hat nach vorne/hinten eine Breite von b = 200 m. Auf eine infinitesimal hohe Mauerfläche dA = b ⋅ dx wirkt dann eine Kraft...

$\text{d}F(x)=p(x)\cdot \text{d}A=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot x\cdot b\cdot \text{d}x$

... nach rechts. Und das bei einem Abstand...

$r(x)=h-x$

... vom Drehpunkt entfernt. Dementsprechend bewirkt diese infinitesimale Kraft ein Drehmoment...

$\text{d}M(x)=r(x)\cdot \text{d}F(x)=\left(h - x\right)\cdot \rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot x\cdot b\cdot \text{d}x$

Aufsummiert (bzw. aufintegriert) ergibt sich dann insgesamt für das gesuchte Drehmoment...

$M=\int\limits_{0}^{h}\left(h-x\right)\cdot \rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot x\cdot b\,\text{d}x$

$=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot b\cdot \int\limits_{0}^{h}\left(h-x\right)\cdot x\,\text{d}x$

$=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot b\cdot \int\limits_{0}^{h}\left(h\cdot x-x^2\right)\,\text{d}x$

$=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot b\cdot \left[h\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^{x=h}$

$=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot b\cdot \left(h\cdot \frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{3}\right)$

$=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot b\cdot \left(\frac{3}{6}h^3-\frac{2}{6}h^3\right)$

$=\rho_\text{Wasser}\cdot g\cdot b\cdot \frac{1}{6}\cdot h^3$

Und mit konkreten Werten dann...

$M=1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 9\text{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 200\,\text{m}\cdot \frac{1}{6}\cdot \left(100\,\text{m}\right)^3=3\text{,}27\cdot {10}^{11}\,\text{N}\,\text{m}$