Denkfehler bei Herleitung des Lagrange-formalismus?
Hallo, bei der Herleitung des Lagrange-Formalismus für konservative Kraftfelder verstehe ich folgendes nicht:
Verstehe ich den zweiten Schritt nicht. Mir ist bewusst, dass hier die Kettenregel angewandt wird, aber wirklich plausibel erscheint mir das nur, wenn da sowas stünde wie
Aber zum einen ist der Gradient, so wie wir in bisher kennengelernt haben, erstmal nur in kartesischen Koordinaten definiert (mir ist klar, dass das auch für nicht kartesische Koordinaten geht)
Zum anderen sind das aber keine Skalare, sondern Vektoren, die im physikalischen Raum 3 Dimensionen, sprich 3 Einträge hat.
Also denke ich mir, die Vektorableitung lassen sich wie folgt schreiben:
Wobei ich mir den Faktor 3 einhole, weil ich beim Standardskalarprodukt komponentenweise multipliziere und dann alles addiere, wobei mit jedes Produkt einmal
gibt
Das ist aber offensichtlich nicht das was rauskommt. Wo liegt also mein Denkfehler?
Ich wäre einer Antwort sehr verbunden.
Vielen Dank im Voraus!
2 Antworten
Der Faktor 3 würde sich ergeben, wenn man drei identische Summanden aufaddiert. Aber die drei Summanden sind nicht identisch. Es bleibt bei einer Summe drei verschiedener Summanden, nicht beim Dreifachen eines identischen Summanden.
Tatsächlich sind dir Komponenten von r die gewohnten kartesischen Koordinaten, deshalb steht da auch der stinknormale Gradient. Verallgemeinerte Koordinaten sind die Komponenten von q.
Naja, eben die Summe, die da steht. Die Kettenregel ist so definiert, dass als Ergebnis der Ableitung eine Summe über alle inneren Funktionen, die von q abhängen summiert wird. In dem Fall also eine Summe über alle Komponenten von r.
also dann dU(x)/dx * dx/dq + dU(y)/dy *dy/dq + dU(z)/dz * dz/dq ? In diesem Fall verstehe ich nicht, wie daraus dU(q)/dq folgt..
Ja genau. Lies die Gleichung doch von rechts nach links. dU/dq ergibt nach der Kettenregel die lange Summe aus drei Summanden.
Genau das isses, wo ich nicht folgen kann. dU(q)/dq, was soll das ergeben? Ich versteh das im Allgemeinen mit nach was wird abgleitet und was ist ne Funktion von was nicht so genau. Wenn U nur mal angenommen ist:
U = s^2 dann ist d dU/dq = 2s . Ich versteh iwie nicht, wie ich da jetzt U(x)/dx * dx/dq + dU(y)/dy *dy/dq + dU(z)/dz * dz/dq bekomme
Was am Ende rauskommt ist ja nicht U(x,y,z)/dq sondern U(q)/dq
Naja, ultimativ hängen x, y und z alle von q ab, deshalb hängt auch U von q ab. Also:
U(q) = U(x(q), y(q), z(q))
U hängt also über x, y und z von q ab.
grad(U) = summe (∂U/∂r_i) das ergibt ja genau das was du danach schreibst.
Danke erstmal, was aber kommt dann raus, wenn alle drei Summanden nicht gleich sind? Steh irgendwie aufm Schlauch..