Beweis zur Orthogonale Matrix und orthonormal Basis?
Kann mir jemand sagen, wie ich hier vorzugehen habe. Komme irgendwie nicht weiter. Muss man eine Beweisführung machen? Habt ihr Tipps?
Es sei A ∈ R2×2 eine orthogonale Matrix und {b1,b2} eine Orthonormalbasis des R2. Zeigen Sie, dass auch {A·b1,A·b2} eine Orthonormalbasis des R2 ist.
2 Antworten
Siehe Bild.
Da jedes Orthonomalsystem mit 2 Elementen in V=R2x2 gleichzeitig eine Basis für V ist, liegt mit v1,v2 eine Orthonormalbasis vor.
Das innere Produkt von v1 und v2 ist v1(transponiert)*v2
Für zwei verschiedene Vektoren einer Orthonormalbasis verschwindet das innere Produkt.
Da A orthogonale Matrix folgt A besitzt ein Inverses.
Nun zeige Ab1 und Ab2 sind lin. un.:
0=k1*Ab1 + k2*Ab2= A (k1b1 + k2b2)
A ist insb. injektiv => ker (A)={0}
Also k1b1+k2b2=0
Da b1 b2 eine Basis ist folgt
k1,k2 =0
Also sind Ab1, Ab2 lin un. + Dimension stimmt => Ab1, Ab2 ist eine Basis
danke, aber wieso wird v1 transponiert?