Kann man die kanonische Basis hernehmen?
Es seien V ein Vektorraum über K und B = (b1, b2, b3) eine Basis von V.
Zeige: Für alle t ∈ K bilden c_1,t := b1, c_2,t := b1 + b2, c_3,t := tb1 + b2 + b3 eine Basis C_t :=c1,t, c2,t, c3,t) von V.
Kann man nicht einfach die kanonische Basis für b hernehmen, also:
B=(1 0 0..., 0 1 0 0 ..., 0 0 1 0 0...)
Und dann 0= x_1*(b1)+ x_2*(b1+b2)+x_3*(t*b1+b2+b3). Und via GL würde x1=0, x2=0, x3=0 ergeben. Oder muss ich anders vorgehen?
1 Antwort
Das musst du hier nicht Mal machen.
Nimm an, dass es x, y, z aus K gibt, sodass x*c_1+y*c_2+z*c_3=0 gilt.
Setzte dann die Definition der cs ein, und fasse es dann zusammen, sodass du eine Linearkombination der Ursprünglichen Basis erhälst. Nutze dann die Eigenschaften der Basis, um zu folgern, dass x, y und z alle 0 sein müssen.
Wieso schreibst du die Skalare denn in dieser Form? Wie ist das genau gemeint?
Hab gemeint warum du zbsp auf (x+y+tz)*b1 kommst? Warum schreibst du das Skalar so in dieser Form?
Weil du dann anwenden kannst, dass die b_i eine Basis ist, weswegen du folgern kannst, dass (x+y+tz)=0, (y+z)=0 und z=0 gelten muss.
B hat 3 Elemente, also dim(V)=3.
Dann ist Ct auch eine Basis von V genau dann, wenn die
3 Elemente von Ct lin. unabh. sind.
Das ist der Fall, wenn aus
xb1 +y(b1 + b2) +z(tb1 + b2 + b3) = 0 folgt x=y=z=0
xb1 +y(b1 + b2) +z(tb1 + b2 + b3) = 0
==> (x+y+zt)b1 + (y+z)b2 + zb3 = 0
Da B eine Basis ist folgt
x+y+zt=0 und y+z=0 und z = 0
==> x+0+0=0 und y+0=0 und z = 0
==> x=y=z=0. Also ist Ct eine Basis von V. Passt vermutlich. Und jetzt soll man folgendes auch noch bestimmen: Bestimme die zu C_t duale Basis C∗_t = (c∗_1,t , c∗_2,t , c∗_3,t). Ich bin mir noch nicht ganz sicher, wie das mit dem Dualraum funktioniert bzw. dualen Basis.
x*b1+y*b1+b2*(t*b1+b2+b3)=0. B ist linear unab. Mit der Definition der lin Unabhängigkeit folgt und obiger Definition der "cs": x*c1+y*c2+z*c3=0 folgt x=y=z=0. Daher bildet sich eine Basis