Beweis durch Taylorentwicklung?

Hallo!

Könnte mir vielleicht jemand bei diesem Beweis weiterhelfen?

Laut Tipps soll man mit der Taylorentwicklung von e^t bis 4. Grad vorgehen. Leider hab ich das Thema gar nicht verstanden und weiß nicht, wie man hier vorgehen soll.

Lieben Dank schon mal!

Answer 1

[ChrisGE1267]

Schau Dir die Taylor-Entwicklung von Exp(t) an:

Exp(t) = 1 + t + t^2/2 + t^3/3! + t^4/4! +…

Mit t = x^2 erhältst Du:

Exp(x^2) - 1 - x^2 - 1/2 x^4 = (1 + x^2 + 1/2 x^4 + 1/6 x^6 + 1/24 x^8 +…) - 1 - x^2 - 1/2 x^4 = 1/6 x^6 + 1/24 x^8 +… = x^4 * (1/6 x^2 + 1/24 x^4 +…) = o(x^4),

da die verbleibende Reihe bei Division durch x^4 für x -> 0 immer noch gegen 0 strebt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[DerRoll]

Ja, dann entwickele doch

$f\left(x\right)\ =\ e^{x^2}$ mal in eine Taylorreihe bis Grad vier. Wo ist da genau dein Problem?