Bei dem Thema handelt es sich um Optimierung, könnte jemand mir da bitte bei Aufgabe 5/6 weiter helfen?
3 Antworten
Aufgabe 5)
Die grüne Fläche a * r (Fußballfeld) soll maximal werden. Als Nebenbedingung haben wir den Umfang von 400 m gegeben, also als Gleichungssystem
A(a, r) = a * r
400 m = 2 a + 2 π r
Jetzt lösen wir die Nebenbedingung nach a auf und erhalten
a = 200 m – π r
was wir dann in A(a, r) einsetzen, wobei A(a, r) zu A(r) wird, da a nach der letzten Rechnung auch von r abhängt - man kann es auch so machen, dass r von a abhängt, wenn man nach r umgeformt hätte und das in A(a, r) eingesetzt hätte: Wir setzen aber a in A(a, r) ein, da wir nach a umgeformt haben.
A(a, r) = a * r
A(r) = (200 m – π r) * r
A(r) = 200 m * r – π r²
Diese Fläche soll maximal werden. Wir sehen hier schon, dass es sich um eine Parabel handelt, die nach unten geöffnet ist (der Leitkkoeffzient ist –π und damit negativ). Also ist die eine kritische Stelle, die wir mit der ersten Ableitung berechnen können sicher eine Maximalstelle: Das hinreichende Kriterium müssten wir mit dieser Begründung also eigentlich nicht anwenden, kannst du aber selber natürlich machen - werde ich jetzt nicht tun. Die Maximalstelle lässt sich demnach so berechnen:
A'(r) = 0
200 m – 2 π r = 0
<=> r = 100/π m ≈ 31,83 m
Damit ist a
a = 200 m – π * (100/π m) = 100 m
und die maximale Fläche
A(100/π m)
= 200 m * (100/π m) – π * (100/π m)²
= 10000/π m² ≈ 3183,1 m²
bzw. mit der Anfangsformel für A dann
A = 100 m * 100/π m = 10000/π m²
was natürlich das selbe ist.
Aufgabe 5)
Die Fläche des Fußballfeldes ist
Die Nebenbedingung ist Länge der Laufbahn und damit kann "r(a)" bestimmt werden.
Damit bekommt die Flächenfunktion für das Fußballfeld folgendes Aussehen:
Maximum suchen:
Du hast zwei Bedingungen:
Die Fläche des Rechtecks (wie ist die Formel dafür?) soll möglichst groß sein.
Der Umfang des Stadions soll 400 m sein - wie berechnest du den Umfang?
Wenn du das gemacht hast, machen wir weiter.
Die Formel des Rechtecks lautet: A=a×b
Und den Umfang berechnet man mit U=2×pi×r
Und wie geht es weiter ?